《离散数学》课件-第12章 环与域.ppt

* * 根据子群和子半群的判定定理可以直接得到子环的判定定理。 第12章 环与域 离 散 数 学 云南经济管理学院《离散数学》 本章内容 12.1 环的定义与性质 环的定义 环的运算性质 环的子代数和环同态 环的定义 定义12.1 设R,+,·是代数系统,+和·是二元运算。 如果满足以下条件： (1) R,+构成交换群。 (2) R,·构成半群。 (3) ·运算关于+运算适合分配律。 则称R,+,·是一个环(ring)。 通常称+运算为环中的加法，· 运算为环中的乘法。 环的实例 (1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数Q，实数环R和复数环C。 (2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环。 (3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环。 (4)设Zn＝{0,1,...,n－1}, ?和?分别表示模n的加法和乘法，则Zn, ?, ?构成环,称为模n的整数环。 环的运算约定 加法的单位元记作0。 乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。 对任何环中的元素x，称x的加法逆元为负元，记作-x。 若x存在乘法逆元的话，则将它称为逆元，记作x-1。 针对环中的加法， x-y表示x+(-y)。 nx表示x+x+?+x(n个x相加)，即x的n次加法幂。 -xy表示xy的负元。 环的运算性质 定理12.1 设R,+,·是环，则 (1) ?a∈R，a0＝0a＝0 (2) ?a,b∈R，(-a)b＝a(-b)＝-ab (3) ?a,b,c∈R，a(b-c)＝ab-ac，(b-c)a＝ba-ca (4) ?a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2) 定理12.1的证明 (1) ?a∈R，a0＝0a＝0 a0 ＝ a(0+0) ＝ a0+a0 由环中加法的消去律得 a0＝0。 同理可证 0a＝0。 (2) ?a,b∈R，(-a)b＝a(-b)＝-ab (-a)b+ab ＝ (-a+a)b ＝ 0b ab+(-a)b ＝ (a+(-a))b ＝ 0b ＝ 0 因此(-a)b是ab的负元。 由负元的唯一性可知 (-a)b＝-ab。 同理可证 a(-b)＝-ab。 ＝ 0 (3) ?a,b,c∈R，a(b-c)＝ab-ac，(b-c)a＝ba-ca a(b-c) ＝a(b+(-c)) ＝ab+a (-c) ＝ab- ac 定理12.1(4)的证明 (4) ?a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2) 先证明 ?a1,a2,...,an 有 对n进行归纳。 当n＝2时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。 假设 ，则有 由归纳法命题得证。 定理12.1(4)的证明 同理可证，?b1,b2,...,bm 有 于是 例12.2 例12.2 在环中计算(a+b)3，(a-b)2 解答 (a+b)3 ＝ (a+b)(a+b)(a+b) ＝ (a2+ba+ab+b2)(a+b) ＝ a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (a-b)2 ＝ (a-b)(a-b) ＝ a2-ba-ab+b2 子环 定义12.2 设R是环，S是R的非空子集。若S关于环R的加法和乘法也构成一个环，则称S为R的子环(subring) 。 若S是R的子环，且S?R，则称S是R的真子环。 举例： 整数环Z，有理数环Q都是实数环R的真子环。 {0}和R也是实数环R的子环，称为平凡子环。 子环判定定理 定理12.2 设R是环，S是R的非空子集，若 (1) ?a,b∈S，a-b∈S (2) ?a,b∈S，ab∈S 则S是R的子环。 证明：由(1)S关于环R中的加法构成群。 由(2)S关于环R中的乘法构成半群。 显然R中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律 在S中也是成立的。 因此，S是R的子环。 例12.3 (1)考虑整数环Z,+,·，对于任意给定的自然数n， nZ＝{nz|z∈Z}是Z的非空子集，且?nk1,nk2∈nZ有 nk1-nk2＝n(k1-k2)∈nZ nk1·nk2＝n(k1nk2)∈nZ 根据判定定理,nZ是整数环的子环。 (2)考虑模6整数环Z6,?,?，不难验证 {0},{0,3},{0,2,4},Z6是它的子环。 其中{0}和Z6是平凡的，其余的都是非平凡的真子环。 环的同态 定义12.3 设R1和R2是环。?：R1→R2，若对于任意的x,y∈R1有 ?(x+y)＝?(x)+?(y)，?(xy)＝?(x)?(y) 成立，则称?是环R1到