《高等数学》课件-第5章　积分.PPT

一、两个问题的提出　　　 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 问题一 ：是否能够求一个函数 ，使之在 [a,b]上成立 问题二：对于求得的在[a,b]上满足 的 是否成 立？ 二、微积分第一基本定理　　　 考察定积分 记 积分上限函数 微积分第一基本定理：　　　 若f (x) 在[a, b]上连续，则函数　　　　　　　　在[a, b]上　　 可微，且有　　　　　　．　　　 证明：　　 f (x) 连续 介于　与　　　之间　　 变上限积分　　　 说明 1．　　　　　　　　是上限 x 的函数．　　　　 当f (x) 连续时有　　　 F (x) 也常写成　　　 a x x 积 分 变 量 积 分 上 限 2． f (x) 可积 f (x) 连续　　 F(x)连续　　　 F(x)可导　　　 3．　　 故也称为积分上限函数． 注意 1．　　 f (x) 连续　　 2．　　 例　　 3．　　 例　　 【例1】 求　　　　 【解】 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 【例2】求　　　　　　　　　, 其中f (t)为已知的连续函数．　　 【例3】设　　　　　　　　，求　　 【解】 【例4】若f (x) 可导，且　　　　　　　　　　，求　　 【解】 【解】 【例5】 设　　　　　　　　　　　　　　　　，则当　　 时， f (x) 是 g(x) 的(　 　)．　　 (A)高阶无穷小；　(B)低阶无穷小；　　　 (C)等价无穷小；　(D)同阶但不等价的无穷小．　　　　 【解】　　　 A 作业 【例6】 【例7】若 f (x) 是[a, b]上的连续函数，试证：　　　 是[a, b]上的单调非增函数，并从而推证不等式：　　 【证明】 注：若将区间规范化(即区间长度为1时)，则有　　　 第5章　积分　 定积分概念　　 不定积分概念　　 微积分基本定理　　　 遵义师范学院《高等数学》 十七世纪，生产力的发展需要解决四大类问题：　　 1．已知物体移动的距离求速度和加速度；　　　 反之已知加速度求速度和距离．　　　　　 2，求曲线的切线．　　 3．求函数的最值．　　　 4．求曲线的长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积，　 两物体间的引力等．　　　 牛顿：导数与反导数　　　　不定积分　　　 莱布尼兹：微分与微分的和　　　　定积分　　　 §5.1 　定积分概念及性质　　　　 两个等价问题　　 定积分概念　　　 定义，性质，几何意义　　　 一、两个等价问题　　　 1． 曲边梯形的面积　　 a b x y o 由非负的连续曲线 y = f (x) 与x 轴及直线 x = a, x = b 围成 的图形称为曲边梯形．　　 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o a b x y o (四个小矩形) (九个小矩形) 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． 用小区间左端点的函数值为高作矩形（leftbox）： 用小区间右端点的函数值为高作矩形（rightbox） 用小区间中点的函数值为高作矩形（middlebox） y = f (x) 第一步：作分割　　　 在a, b之间插入n －1 个分点 将区间[a, b]分成 n 个小区间　　 记　　 为区间　　　　上小曲边梯形的面积．　　　 第二步：近似代替(以直代曲)　　　 第三步：求和　　　 A 第四步：取极限　　　 令　　　　　　则 关键：　　 整个曲边梯形　　 面积可分割成n 个　　 小曲边梯形面积　　 之和．　　 任取　　 2．变速直线运动的路程 已知物体以速度 v = v (t) 作直线运动，求时间t = a 到 t = b 所经过的路程 S．　　 t:　 S: 第一步：作分割　　　 关键：整个路程可分割成 n 小段之和．　　 第二步：近似代替(以匀代变)　　　 第三步：求和　　　 第四步：取极限　　　 令　　　　　　则 v t a b v = v (t) S 能用上述四步解决的量须满足：　　　 (1)分布在某一区间上　(2)总量等于若干个局部量之和　　　 任取　　 a b 1.曲边梯形的面积　　 2.变速直线运动的路程 y = f (x) a b t:　 S: (1)作分割　　　 (2)近似代替(以不变代变)　　　 (3)求和　　　 (4)取极限　　　 任取