《离散数学》课件-第11章 半群与群.ppt

例11.5 例11.5 设群G＝P({a,b}),?，其中?为集合的对称差运算。解下列群方程： (1){a}?X＝? (2)Y?{a,b}＝{b} 解答： (1) X＝{a}-1 ? ? ＝{a}?? ＝{a} (2) Y＝{b}?{a,b}-1 ＝{b}?{a,b} ＝{a} 消去律 定理11.3 G为群,则G中适合消去律，即对任意a,b,c∈G 有 (1)若ab＝ac，则b＝c。 (2)若ba＝ca，则b＝c。 证明：(1)ab＝ac ? a-1(ab)＝a-1(ac) ? (a-1a)b＝(a-1a)c ? eb＝ec ? b＝c (2)略 第11章 半群与群 离 散 数 学 云南经济管理学院《离散数学》 本章内容 11.1 半群与独异点 11.2 群的定义与性质 本章总结 例题选讲 作业 11.1 半群与独异点 半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。 半群与独异点的定义，及其子代数的说明。 半群与独异点的幂运算。 半群与独异点的同态映射。 半群与独异点 定义11.1 (1)设V＝S,?是代数系统，?为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群（semigroup）。 (2)设V＝S,?是半群,若e∈S是关于?运算的单位元,则称V是含幺半群，也叫做独异点（monoid）。 有时也将独异点V记作V＝S，?，e。 半群与独异点的实例 Z+,+，N,+，Z,+，Q,+，R,+都是半群,+是普通加法。这些半群中除Z+,+外都是独异点。 设n是大于1的正整数,Mn(R),+和Mn(R),·都是半群,也都是独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法。 P(B),?为半群,也是独异点,其中?为集合的对称差运算。 Zn,?为半群,也是独异点,其中Zn＝{0,1,…,n-1},?为模n加法。 AA,?为半群,也是独异点,其中?为函数的复合运算。 R?,?为半群,其中R?为非零实数集合,?运算定义如下： ?x,y∈R?, x?y＝y 半群中元素的幂 由于半群V＝S,?中的运算是可结合的,可以定义元素的幂,对任意x∈S,规定：  x1＝x xn+1＝xn ?x, n∈Z+ ??? 用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：  xn ? xm＝xn+m  (xn)m＝xnm m,n∈Z+ 普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则。 独异点中的幂 独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中去。 由于独异点V中含有单位元e，对于任意的x∈S,可以定义x的零次幂,即 x0＝e xn+1＝xn ?x n∈N 不难证明，独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，只不过m和n不一定限于正整数，只要是自然数就成立。 子半群与子独异点 半群的子代数叫做子半群。 独异点的子代数叫做子独异点。 根据子代数的定义不难看出： 如果V＝S,?是半群,T?S，要T对V中的运算?封闭，那么T,?就是V的子半群。 对独异点V＝S,?,e来说，T?S，不仅T要对V中的运算?封闭,而且e∈T，这时T,?,e才构成V的子独异点。 例11.2 例11.2 设半群V1＝S,?，独异点V2＝S,?,e。 其中 ?为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵 令 则T ? S，且T对矩阵乘法?是封闭的， 所以T,?是V1＝S,?的子半群。 但它不是V2=S,?,e的子独异点，因为V2中的单位元 e= T。 易见在T, ?中存在着自己的单位元 ， 所以T, ? , 也构成一个独异点。 半群与独异点的直积 定义11.2 设V1＝S1,?，V2＝S2,*是半群(或独异点), 令S＝S1×S2,定义S上的·运算如下： ?a,b,c,d∈S, ????????? a,b?c,d＝a?c,b*d 称S,?为V1和V2的直积，记作V1×V2。 可以证明V1×V2是半群。 若V1和V2是独异点，其单位元分别为e1和e2，则e1,e2是V1×V2中的单位元，因此V1×V2也是独异点。 半群与独异点的同态映射 定义11.3 (1)设V1＝S1,?,V2＝S2,?是半群,?: S1→S2。 若对任意的x,y∈S1有 ?(x?y)＝?(x)??(y) 则称?为半群V1到V2的同态映射,简称同态(homomorphism)。 (2)设V1＝S1 ,?,e1,V2＝S2 ,?,e2是独异点, ?: S1→S2. 若对任意的x,y∈S1有 ?(x?y)＝?(x)??(y) 且?(e1)＝e2,