《离散数学》课件-第5章 函数.pdf

云南大学滇池学院《离散数学》 第5 章 函数 第5章 函数 云南大学滇池学院《离散数学》 第5 章 函数 内容提要 5.1 函数的概念 5.2 逆函数和复合函数 5.3 基数的概念 5.3.1 集合的等势 5.3.2 有限集和无限集 5.3.3 集合的基数 5.4 基数的比较 云南大学滇池学院《离散数学》 第5 章 函数 5.1 函数的概念 定义5.1.1 设f 是集合A到B 的关系，如果对每个x ∈A ，都存 在唯一的y ∈B，使得x, y ∈f ，则称关系f 为A到B 的函数 (Function)(或映射(Mapping))，记为f : A→B 。 若x,y f ，则x称为自变元或象源，y 称为在f 作用下x 的象， x,y f 亦可记作y =f (x)，且记f (A) ={f (x) | x ∈A} 。 [注]：  A为函数f 的定义域，记为domf =A ；f (A)为函数f 的值域，记为ranf ， 即ranf ={y | (x)(x ∈A) ∧(y =f (x))}。  几个结论： 1）x ,y ∈f y =f (x) ； 2 ）函数的定义域只能是A ，而不能是A 的某个真子集； 3 ）x ,y ∈f ∧x ,z ∈f y = z (即一个x ∈A 只能对应于唯一的一个y ) ； 4 ）|f |=|A| (即关系f 所含元素个数等于定义域A所含元素个数) ； 5 ）f (x)表示一个变值，f 代表一个集合，因此f ≠ f (x) 。 云南大学滇池学院《离散数学》 第5 章 函数  如果关系f 具备下列两种情况之一，那么f 就不是函数： 1）存在元素a ∈A ，在B 中没有象； 2 ）存在元素a ∈A ，有两个及两个以上的象。 实例：设A={1,2,3,4},B={a,b,c,d}，试判断下列关系哪些是函数。如果 是函数，请写出它的值域。 （1）f 1={1,a,2,a,3,d,4,c} ； （2 ）f 2={1,a,2,a,2,d,3,d,4,c} ； （3 ）f 3={1,a,2,b,3,d,4,c} ； （4 ）f 4={2,b,3,d,4,c} 。 解： （1）在f 1 中，因为A 中每个元素都有唯一的象和它对应，所以f 1是 函数。其值域是A 中每个元素的象的集合，即ranf 1={a,c,d}； （2 ）在f 2 中，因为元素2有两个不同的象a和d ，与象的唯一性矛盾， 所以f 2不是函数； （3 ）在f 3 中，因为A 中每个元素都有唯一的象和它对应，所以f 3是函 数。其值域是A 中每个元素的象的集合，即ranf 3={a,b,c,d}； （4 ）在f 4 中，因为元素1没有象，所以f 4不是函数。 云南大学滇池学院《离散数学》 第5 章 函数 函数相等 定义5.1.2 设有函数f : AB 和g : CD，如果A=C ，B=D， 并且任意的a A (或a C)，都有f (a)=g (a), 则称函数f 和g相 等, 记作f = g 。 • 实例：f : I→I , f (x) = x2 ； g : {1,2,3}→I , g (x) = x2 是两个不同的函数。 云南大学滇池学院《离散数学》