《数值分析》课件-第4章 非线性方程求解.pdf

第四章 非线性方程数值求解 § 4.1 一元方程求根 四川工业科技学院《数值分析》 主要概念、思想和二分法 1）问题的提出 满足函数方程 f(x)=0 (1) 的x称为方程 (1)的根，或称为函数f(x)的零点. 如果 m 函数(x)可分解为 (x)=(xs) g(x) 且g(s )0, 则称s是(x)的m重零点或(x)=0的m重根. 当m=1时，称s是(x)的单根 或单零点。 若f(x)不是x的线性函数, 则称 (1)为非线性方程 , 特 别, 若f(x)是n次多项式，则称(1)为n次多项式方程或 代数方程；若f(x)是超越函数，则称 (1)为超越方程。 理论上已证明，对于次数n=4的多项式方程,它的 根可以用公式表示,而次数大于5的多项式方程,它 的根一般不能用解析表达式表示.因此对于f(x)=0 的函数方程,一般来说,不存在根的解析表达式,而 实际应用中,也不一定必需得到求根的解析表达式, 只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。常 用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。 求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。 求根方法中最直观最简单的方法是二分法。 2)预备知识 定理1.(根的存在定理) 假设函数y=f(x)Ca,b,且f(a)·f(b)0, 则至少存在一点x (a,b)使得f(x )=0. (并称区间 (a,b)为有根区间) 定理2. 假设函数y=f(x)在a,b上单调连续,且 f(a)·f(b)0, 则恰好只存在一点x (a,b)使得f(x )=0. 定理3. 假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可微， 则s是方程f(x )=0的m重根的充分必要条件是 1)问题 给定方程f(x)=0,设f(x)在区间 [a,b]连续,且 f(a)f(b)0,则方程f(x)在 (a,b)内至少有一根 ,为 便于讨论,不妨设方程f(x)=0在 (a,b)内只有一个(重根 视为一个)实根，求满足精度要求的近似值实根 。 2)概念及基本思想 概 念： 二分法也称对分区间法、对分法等， 是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。 基本思想 ：利用连续函数的零点定理，将含根区 {x } 间逐此减半缩小，就可以构造出收敛点列 来 k * x 逼近根 。 3)构 造 原 理 定理1.(根的存在定理) 这个原理指出了根的存在区间可由两端点处的函 数值是否反号确定，那么注意到，将含根区间分为 两个长度相等的子区间后，在这两个子区间上也可 利用零点原理确定根在那个子区间上，如此继续下 去就达到将含根区间逐步缩小的目的，此时，在这 {x } 一些相互包含的子区间中构造收敛的数列 将它 k * x 收敛于根 ，见下图 f (x) x3 a ξx2 x 1 b x 4)解题思路 1. 记含根区间 [a ,b ]=[a,b] 0 0 a b 取 x  0 0