《高等数学下》课件-第10章 向量与空间解析几何.ppt

(5) 外积与混合积 外积: 两个向量 与 的外积 是一个向量, 它的长度为 的方向与 垂直 , 并且 形成 右手系 . 若 中有一是零向量 , 则外积规定为 零向量 外积的物理背景: 一根棍子固定在 O 点 , 有一力 作用在 P 点使 它转动 . 转动的轴线垂直于 和 , 现问如何描 述这一物理过程 ? 由于转动具有方向 , 所以力对于转动的总效用 就表现为一个向量 (力矩) 根据杠杆定律知: 转动效用的大小等于力臂与力 的大小的乘积 方向: 形成右手系 于是力矩 可表示为: 的几何意义 : 以 为邻边的平行四边形的面积 外积的运算性质: (1) ( 无交换律 ) (2) 一般外积运算无结合律 , 即 反例: 设 是两两垂直的单位向量 则 (3) 无交换的分配律 (4) 如果 , 则 (5) 所以 , 外积基本上可以象多项 式那样运算 , 只要注意交换因子时变号 混合积: 对于 , 称 为三向量的 混合积 , 记为 混合积的几何意义: 平行六面体的高 为此平行六面体底面的面积 就是以 为边的平行六面 体的体积 所以 , 从定义可知: (1) (2) 轮换不变性 定理 (三向量共面的条件) 三向量 共面 推论 空间中的四个点 A , B , C , D 共面 §10.2 空间直角坐标系与向量代数 空间直角坐标系: 在空间中 , 任取一点 O , 并从 O 画出三条互相 垂直的数轴 ( 取定方向的直线 ) , 依次记作 OX , OY , OZ , 这样就构成一空间直角坐标系 , 记作 O ? xyz . 如图是一右手系的空间直角坐标系 OX ? 称为 X 轴 , OY ? 称为 Y 轴 , OZ ? 称为 Z 轴 . 每两条坐标轴所决定的平面称为 坐标平面 ( xy 平面 , yz 平面 , zx 平面 ) §10.3 平面与直线 1o平面方程 经过一点 及垂直于一个方向 有唯一的一个平面 ? . 与平面 ? 垂直的方向称为该平面的法向 平面方程: 空间中的点 在平面 ? 上应满足的关系式 , 称为平面 ? 的方程 平面方程的建立: 设平面 ? 的法向为 , 且经过点 在 ? 上任取一点 , 则有 (1) 式 (1) 称为平面 ? 的向量式方程 由 , 则有 (2) 式 (2) 称为平面 ? 的点法式方程 (2) 式可表示为: (3) 即平面方程 ? 的方程是一三元一次方程 问题: 任意一个三元方程 (3) 是否表示一平面 ? 设 中至少有一不为零 , 不妨设 取定 , 代入 (3) 有 所以 满足方程 (3) , 而且 方程 (3) 可以等价地表示为 可知: 方程 (3) 表示一以 为法向 , 经过 点的平面方程 结论: 任意一三元一次方程 都表示一平面方程 , 且其系数 构成的向量 即为其法向量 (4) 我们称三元一次方程 (3) 为平面的一般方程 从 (4) 式可进一步得知: (1) 若 A = 0 , (4) 式为 (5) 由于其法向量 在 yz 平面上 , 平面 ? ? x 轴 同理可知: 表示一平行于 y 轴的平面 表示一平行于 z 轴的平面 (2) 若 (4) 式中的 A , B , C ? 0 (a) 若 D = 0 , 则 平面 ? 经过原点 (b) 若 D ? 0 , 则 (4) 式可以表示为 (6) 其中 即为平面 ? 在 x , y , z 轴上的截距 . 所以