《高等数学下》课件-第12章 多元函数的积分及其应用.ppt

说明: 若 f (x , y) 连续 , 则当 f (x , y) 关于 x ( 或 y ) 是偶函数 ( 或奇函数 ) 时 , 而且 D 关于 y 轴 ( 或 x 轴 ) 对称 , 则 等于对称半 区域上积分的两倍 ( 或为零 ) §12.3 三重积分的计算 问题: 设 f (x , y , z) 在Ω上可积 , 研究三重积分 的计算方法 研究思路: 设法将 化为 先定积分再二重积分 (1) 先单后重 : (2) 先重后单 : 先二重积分再定积分 1o 直角坐标系下三重积分的计算方法 设Ω在 xoy 平面上的投影区域为 Dxy 1、用先单后重方法化三重积分为三次积分 3) 精确化: 当 时 任取 当 f (x , y) ? 0 时， 表示以 D 为底 , 曲面 z = f (x , y)为顶的 “ 曲顶柱体 ” 的体积V 若 f (x , y) ? 0 , (x , y) ? D , 则 ? f (x , y) ? 0 , (x , y) ? D 当 f (x , y) ? 0 时， 表示由 D 与曲面 z = f (x , y) 所成的 “ 曲顶柱体 ” 体积 V 的负值 二重积分的几何意义 对于一般的函数 f (x , y) , 由于 xoy 平面上方的 曲顶柱体体积取正值 ， xoy 平面下方的取负值 区域上的曲顶柱体体积的代数和 二重积分 在几何上表示这些部分 (4) 如果 ， 则 (5) 二重积分值与积分变量名称无关 2、三重积分 （6） 若 (6) 中的几何形体 ? 是 空间有界闭区域 ? , ??i 是空间子区域 ?Vi 的体积?Vi ，此时 f 在 ? 上 则函数 f ( P ) 是定义在 ? 上的三元函数 f (x , y, z) , 的积分 ( 6 ) 称为三重积分 ，记为 （8） 其中 (?i ,?i ,?i )??Vi (i =1,2,?, n) , x , y , z 称为 dV 称为体积元素 积分变量; 说明： (1) 若 f (x , y, z) 在 ? 上可积 , 则积分和 (8) 中的极限与划分无关 现如果用平行于坐标面的平面划分 ? , 则 dxdydz 称为直角坐标系中的体积元素 (2) 变密度空间物体 ? 的质量 (3) 如果 ， 则 3、第一型曲线积分 （6） 若 (6) 中的几何形体 ? 是可求长的平面(或 空间) 曲线 L ( 或 ? ) ， 则函数 f ( P )是定义在 L ( 或 ? ) 上二元函数 f (x , y ) ( 或三元函数 f ( x , y, z ) ) , ??i 是空间子弧段 ?si 的弧长?si , 此时 f 在 L (或 ?) 的积分 ( 6 ) 称为函数 f 沿曲线 L (或 ?)的第一型平 面( 或空间)曲线积分 ，记为 （9） （10） 其中 (?i ,?i , )??si ( 或(?i ,?i ,?i )??si) , x , y ( 或 x , ds 称为弧长元素 y , z ) 称为积分变量 ; L ( 或 ? ) 称为积分路径 ； 说明： (1) 变密度曲线的质量 (2) 如果在 L ( 或 ? ) 上 f = 1 , 则 从而可知第一型曲线积分 (9) 、(10) 的被积 表达式 f ( x , y)ds ( 或 f (x , y, z)ds ) 中的弧长元素 ds 就是弧微分 (3) 被积函数 f (x , y) ( 或 f (x , y, z)) 在曲线 L( 或 ? ) 上取值 (4) 第一型平面曲线积分的几何意义 设 f (x , y) ? 0 , 记以 L 为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面与曲面 z = f (x , y) 的交线为 L1 f (x , y)ds 表示介于 L与 L1 之间小细条的面积 , 介于 L与 L1 之间的曲面面积 : 所以柱面上 4、第一型曲面积分 （6） 若 (6) 中的几何形体 ? 是可求面积的空间曲 面 ? ， 则函数 f ( P ) 是