《数值分析》课件-第8章 常微分方程数值解.ppt

三阶龙格-库塔公式 四阶龙格-库塔公式 构造一般的R级Runge-Kutta方法 Runge-kutta方法的阶与级的关系 在Runge-kutta计算格式(RK)中.计算函数值 f 的次数 R 称为级, 级数与阶数是不同的, 可以证明R级Runge-kutta公式的 最高阶数是 R . 通常所说的 R 级 m 阶Runge-kutta公式指要计算 R个f(x,y)的函数值, 且对应的计算公式是 m 阶的. Butcher得出如下Runge-kutta方法的级数R与阶数m的对应关系: 因此, 通常使用4级4阶Runge-kutta公式(RK4). 应当注意，高阶R-K公式的推导是基于初值问题的解y(x)的Taylor展开，因而要求y(x)具有较好的光滑性。 如果解y(x)的光滑性较差，虽然使用高精度的R-K公式，有时甚至没有使用低精度的公式效果好。 在前面所讨论的方法中,在计算 时只用到前一步 的信息(单步法)，为提高截断误差的阶，每个时间步必须增加计算右端函数 的次数。当 的结构比较复杂时，计算量较大。现在指出另一个提高截断误差阶的办法，即构造这样的方法: 在计算 公式中,充分利用前几步得到的信息 及 ，但每进一步，只计算一次 的值。这样的方法称为多步方法，若函数值 以线性组合的形式出现于公式中，则称方法为线性多步方法。 9.4 线性多步法 初值问题: -----------(1) 称为Euler二步法. 1. (l步)线性多步法的一般格式为： ---------(2) 当 ?0 时，为隐式公; =0 则为显式公式。 ------(3) 2. 线性多步方法的构造 构造多步法有多种途径，常用的有基于Taylor展开 的构造方法(待定系数法)和基于数值积分的构造方法。 根据公式具体的精度(p阶),即 ,确定 3. 几个重要的线性多步法 Adams(阿当姆斯)方法, Milne(米纳)方法, Hamming(哈明)方法, Simpson(辛普生)方法. 第九章 常微分方程数值解 成都银杏酒店管理学院《数值分析》 9.1 引言(基本求解公式) 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 在高等数学中我们见过以下常微分方程： -----------(1) -----------(2) -----------(3) (1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题 -----------(4) 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组: 本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)~(4)只作简单介绍 我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件 定理1. 对于问题(1),要求它的数值解 -----------(1) 从(1)的表达式 可以看出,求它的数值解的关键在于 求解微分方程的数值方法 数值积分 数值微分 而数值积分问题我们已经学习过, 下考虑数值微分方法 微积分中，关于导数的定义如下： 自然而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商! 向前差商 由Taylor展开 因此，有误差 向后差商 误差: 中心差商 常微分方程数值解的基本思想 以上三种方法推导出同一个数值求解公式: 这个数值公式称为欧拉(Euler)公式 9.2 欧拉(Euler)方法 误差分析 这种误差称为局部截断误差. 显示Euler公式 隐式梯形公式 比较下面两个公式： 改进欧拉(Euler)方法 常微分方程数值解的截断误差 评价一个微分方程求解公式的标准当然是其精度 而在求解公式 中 误差项 定义1(a). 定义1(b). ---------(*) 上两定义本质是一