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平面向量的数量积
教学目的: 1、掌握平面向量数量积及其几何意义;
2、知道两个向量数量积的性质;
3、了解平面向量数量积在长度、角度和垂直等方面的简单运用;
4、掌握向量垂直的条件。
教学重点:平面向量数量积及其重要性质
教学难点:平面向量数量积的概念掌握
教学方法:研究性学习
教学媒体:计算机、投影仪
教学过程:
一、 设置情境导入新课:
前面我们学习了平面向量的加、减,以及实数与向量的乘积,今天我们一起研究两个平面向量
的乘积。(板书课题)
在物理课上,我们学过功的概念,既如果一个物体在力F 的作用下产生位移S,那么力F 所做
的功W 与F、S 有何关系?其中 表示一个什么角。
力F 所做的功: W= F•Scos 表示力F 的方向与位移S 的方向的夹角。
(事实上,在以上表达式中F,S 为力和位移的大小,所以表达式可以改为
W F S cos ) F
如果我们定义:FS F S cos s
显然以后我们可以认为力F 所做的功为 W= FS (两个矢量的积)
我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象,就一般向量a和b,来规定a bcos的含义。
二、 探索研究:
1、已知两个非零向量a和b,在平面上任取一点o,作OAa,OBb,则AOB
a和b
(0≤ ≤π)叫做向量 的夹角。你能指出下列图中两向量的夹角吗?(投影)
C
(学生完成,教师指出两个非零向量夹角范围0≤ ≤π,夹角必须共起点)
A A A B
2、下面给出数量积定义:
= 0
A
O B A B B abcos
定义:已知两个非零向量a和b ,它们的夹角为 ,我们把 叫做a和b
= 180 O O
O
B O A O B abcos
的(数量)积(或内积),记作ab,即 ab=
并且规定:任一向量与零向量的数量积为 。0
(结合定义讲解、学生自己阅读、教师提问得出以下注意点)
3、注意点:
(1)ab是数量而不是向量,且“· ”不能省略,也不能写成“×”;
(2)向量夹角的概念:范围0≤≤180,
0时,a与b同向; 180时,a与b反向; 90时,a与b垂直,记作ab
(3)判断两个向量的夹角应先把两个向量起点统一。
(4)两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别:两个向量的数量积是一个实数,
不是向量,符号由cos的符号所决定。
例1:略:学生自主完成。
三、向量的数量积的几何意义
从 ab= abcos ,结合以往知识可以得出那些结论:
| |cos acos
你能从图中作出, b
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