《高等数学下》课件-第9章 微分方程.ppt

令 所以初值问题 (5) 的解 所以初值问题 (5) 的解为 (7) 解 原方程可表示为 例 求方程 满足 初始条件 的特解 即 ( 可分离变量方程 ) 积分得 所以特解为 §9.3 可降阶的高阶方程 1o 形如 y(n) = f (x) 的方程 例 求方程 的通解 解 对方程两边积分有 再积分得 再积分得 再积分得方程的通解 2o 二阶可降阶方程 二阶方程的一般形式: (1) 不显含因变量的二阶方程 (1) 令 , 则 , 代入方程 (1) 有 ( 一阶方程 ) 例 求方程 的通解 解 这是一不显含因变量 y 的二阶方程 令 , 则 , 代入方程有 ( 伯努里方程 ) 两边同乘 p ?2 得 令 得 通解 例 有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索 , 两 端固定 , 绳索在重力的作用下自然下垂 , 求该绳索 在平衡状态下的曲线方程 0 x y M T mg H 解 如图建立坐标系 在曲线上取一点 M(x, y) ( ? O) 分析 OM 段上的受力情况 自身重力: mg = ρsg (ρ是线密度 , s为 的弧长) OM O点处的张力: H , M点处的张力: T 由于绳索平衡 ? 在各方向上的合力为零 在水平方向上: 在垂直方向上: 两式相除得 ( 其中 ) 又 两边对 x 求导得 ( 不显含因变量 y 的方程 ) 初始条件: 令 , 则 , ( 可分离变量方程 ) 代入方程有 积分得 令 x = 0 , p = 0 ? c1 = 0 , 所以有 再令 x = 0 , y = 0 ? c2 = ?a 所以有 例 设兔子从点 (1 , 0) 出发 , 其运动速度大小为常 数 v , 方向与 y 轴的正向相同 , 猎狗从原点 (0 , 0) 与兔子同时出发 , 以速度大小为 2v 追逐兔子 , 求 猎狗的运动轨迹 解 y 0 x 1 B 设猎狗的运动轨迹曲线为 y=y(x) 在时刻 t , 兔子位于 A( 1, vt ) , 猎狗位于 B( x , y ) , 则据题意有 又 A 两边对 x 求导有 ( 不显含因变量的方程 ) 从题意知初始条件: 令 , 则 , 代入方程有 分离变量得 积分得 令 x = 0 , p = 0 ? c1 = 1 , 两式相减得 第九章 微分方程 成都银杏酒店管理学院《高等数学》 §9.1 基本概念 1o基本概念 微分方程: 含有未知函数及其导数的等式 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程 本章讨论: 常微分方程的求解问题 微分方程的阶: 在一微分方程中 , 出现未知函数导 数的最高阶数 例如 ( 一阶微分方程 ) ( 二阶微分方程 ) 微分方程的解: 可以验证: 是方程 (2) 的解 ( c为任意常数 ) 是方程 (1) 的解 若某一函数及其导数代入微分方程 之后使之成为恒等式 , 则称这个函数是微分 方程的解 微分方程的通解与特解 如果微分方程的解中含有一些独立的任意常数, 而且这种任意常数的个数与方程的阶数相同, 则称 这样的解为微分方程的通解 , 而称那种不含任意常 数的解为微分方程的特解 说明: (1) 通解是一族微分方程解的曲线 , 即构成 解曲线族 (2) 微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线 , 即解曲线亦称为积分曲线 一般地 , 从通解中确定任意常数的取值而得到 特解的条件称为定解条件 给出不同的定解条件就产生不同的问题. 在这一 章 , 我们讨论常微分方程的初值问题(cauchy问题): (1) (2) 其中 是已知值 定解条件 (2) 中的 x0 称为初始点 , 称为初始值 , (2) 称为初始条件 2o 建立微分方程 例 旋转容器内的液面形状问题 设容器是圆筒形容器 , 绕中心轴以匀角速度ω 旋转 , 求其液面的形状 解 建立坐标系如图所示 0 y x M mg 设经过一定时间的转动后 , 液 面形成稳定的形状 . 此时 , 截