《高等数学下》课件-第13章 第二型曲线积分与曲面积分.ppt

解 例 设 f (x) 在 (?? , +?) 上连续导函数 , 计算 其中 L 是从点 到点 B(1 , 2) 的直线段 ? 积分在 y 0 的区域上与路径无关 选取积分路径: 有 将 沿曲线 L 从 A 点到 B 点的累积 = 从 ? 到 ? 进行累积(积分) = 将 对 t 第二型曲线积分的计算公式: 其中当 t 从 ? 变到 ? 时 , 曲线上的点从 A 点 变化到 B 点 , 即与有向曲线的正向一致 解 例 计算 , 其中 L 是抛物线 自点 A( 1 , ?1 ) 到点 B( 1 , 1 ) 的有向曲线 解 例 计算 其中 L 是圆周 的反时针方向 且当 ? 从 0 ? 2? 时 , 描绘曲线的方向与曲线 的正向一致 解 例 质点在平面力场 的作用下沿椭圆 在第一象限部分从点 A(a , 0) 移动 到点 B(0 , b ) , 已知 的大小与质点到坐标 原点的距离成正比 , 方向指向原点 , 求 所作的功 设 M(x , y) 是 L 上的任意一点 则在 M 点处 , 有 所作的功 : 第二型空间曲线积分的计算 设 在光滑有向曲线( 或逐段光滑) L 上连续 则沿 L 从点 A 到 点 B 的第二型空间曲线积分 : 其中 , 当 t 从 ? ? ? 时 , 曲线上的点 M( x , y , z) 从点 A 沿 L 变动到点 B 解 例 计算 其中 L 是圆柱面 与平面 的 交线 , 并且从 z 轴正向往原点看去 L 是逆时针方向 L 的方程为 化为参数方程得 当 t : 0 ? 2? 时 , 曲线上的点沿曲线的正向变化 5o 两类曲线积分之间的关系 是大小为 ds , 方向与 L 的正向一致的曲线 L 的切向量 两类曲线积分之间的关系 对于空间曲线积分 , 同样可得 说明: (1) 若 若 (2) 被积表达式 : 表示单位时间内流体沿曲线正向 流过弧微元( 单位截面) ds 的流量 表示单位时间内流体 沿有向曲线 L 的正向流过整个曲线 L 的流量 当曲线 L 为闭曲线时 , 又称此流量为 沿有 向闭曲线 L 的环流量 ( 简称环量 ) , 记作 1) 说明向量场在 L 上具有与 L 正向 同方向的旋转净趋势 2) 说明向量场在 L 上具有与 L 正向 反方向的旋转净趋势 3) 说明向量场在 L 上没有旋转净趋势 环流量是向量场沿闭曲线 L 的旋转净趋势的 一种度量 解 例 试求 “ 螺旋场 ” 的向量线方程 , 并计算 沿向量线反时针 方向的环量 向量线满足方程 即 向量线方程: 沿 L: 反时针方向的环量 是一环绕原点 , 具有反 时针方向旋转趋势的向量场 §13.2 格林公式 1o 格林公式 平面区域 D 的边界曲线的正向 设平面区域 D 是由一条或几条闭曲线所成的 区域 , 如果按某一方向沿边界曲线 L 绕 D 行走时 , 边界曲线所界的区域 D 总是在其左侧 , 则称此环 绕方向为区域 D 的边界曲线的正向 ( 简称曲线的 正向 ) 定理 (格林公式) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面区域,函数 P(x, y) , Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数 , 则 其中曲线积分沿闭曲线 L 的正向 证明 我们仅对任意一条穿过 D 内部且平行于坐 标轴的直线与 D 的边界曲线的交点不多于 两个的情形给出证明 设 同样, 若将 D 表示为 可证得 说明: 格林公式把沿区域 D 边界线 L 正向的第 二型曲线积分转换为 D 上的二重积分 例 计算 其中 L 是椭圆 的正向 解 利用格林公式 , 得 解 例 其中 AnO 为由点 A( a , 0) 至点 O 的上半圆周 计算 AnO 不构成闭曲线 添加辅助有向曲线: 利用格林公式有 解 例 从点 A( ?a , 0) 经上半椭圆 到 B( a , 0) 计算 , 其中 L 是 当 ( x , y ) ? ( 0 , 0 ) 时 不妨设 a b , 过 A , B 点作 a 为半径的圆周 则在由 L , C 所界的区域 D