第四章线性方程组与向量组的线性相关性第二讲.pptx

　 §2 向量组的线性相关性; 2、n 维向量的运算; 3、n 维向量的运算律; 4、n 维向量的实际意义; 2.2 向量组的线性相关性; m×n 矩阵A又有m个n维行向量;; 定义2.3 给定向量组A: α1,α2,…,αs ,对于任何一组 实数k1, k2,…, ks ,向量 k1α1 + k2α2 + … + ksαs 称为向量组A的一个线性组合, k1, k2, … , ks称为这个线性组 合的系数。; 我们把 n 维向量组; 3、向量组等价; 4、向量组的线性相关与线性无关; 4)线性无关向量组的任何一个非空部分向量组仍线性 无关。; 由此，在证明向量组线性无关时，选择上面两种方法 往往更为方便有效。; 证明 对任何不全为零的数λ1,λ2,λ3, 有; 例2 已知向量组α1,α2,α3线性无关，试证向量组β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α1也线性无关。; 根据向量组线性相关的定义, 若α1 ,α2 ,… ,αm线性相关，则存在一组不全为零的数λ1,λ2,… ,λm，使; 推论2.1 向量组α1 ,α2 ,… ,αm线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(α1 ,α2 ,… ,αm)的秩小于向量的个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m。; 对于m×n的矩阵A，由推论2.1可得; 推论2.3 m n 时， m个n维向量必线性相关。; 定理2.2 向量组α1 ,α2 ,… ,αs(s≥2)线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量能由其余的s-1个向量线性表示。; 定理2.3 设向量组α1 ,α2 ,… ,αs 线性无关，向量β 能由α1,α2,… ,αs线性表示，则表示法是惟一的。; 定理2.4 设向量组α1 ,α2 ,…,αs 线性无关，而 向量组α1,α2,…,αs ,β 线性相关，则 β 能由α1,α2,…,αs惟一线性表示。 ; 定理2.5 设 r 维向量组;证明 记Ar×s=(α1 ,α2 ,… ,αs ), B(r-1)×s=(β1 ,β2 ,… ,βs )，由于α1 , α2 , … ,αs 线性相关 , 知R(A) s, 而显然有R(B) ≤ R(A) , 故R(B) s , 从而向量组β1 ,β2 ,… ,βs 线性相关。; 定理2.6 若向量组α1,α2,…,αs可由向量组β1,β2,…, βt 线性表示，且st，则向量组α1,α2,…,αs必线性相关。; (α1 ,α2 ,… ,αs ) = (β1,β2,…,βt ) ;注意到A=(α1,α2,…,αs)，上式即为;作业