二次函数的应用微型课教案.docx

PAGE / NUMPAGES 二次函数的应用——最值问题 教学过程： 一、设置问题情境： “两数的和为12，它们积的最大值是多少？猜猜看．” 我打算让同桌每人说一对数和为12的数算积，在尝试过程中看能否得到答案。学生可能答：“这两个数为6”我这时追问：你能说出理由吗？请用我们已学知识加以说明。这样层层深入，启发学生建模，即设一个数为x，建立一个二次函数y=x(12－x)，引导学生要求y的最大值，就是求二次函数的最值问题，配方表示成顶点式y＝－(x－６)2+36，因为此函数图象开口朝下，所以当x＝６时，y有最大值是 完成此题，我将及时让学生反思：刚才的问题是怎么解决的？ 学生回顾，回答：对于求最值问题，先建立二次函数，再求最值； 我再问：方法是什么？学生回答：用二次函数来解决这类最值问题。 数学服务于生活，小结方法后，我将出示实际问题，主要分两大部分，第一部分讲实际生活中的几何图形求最值问题，第二部分讲实际生活中的利润方面求最值问题。 1、用一根长为24m的铝合金材制作一个矩形窗，窗框的宽和高各为多少时，该窗的透光面积最大？ 图1提问：（1）已知什么？要求什么？引导学生将问题转化成周长一定时，求面积的最大值；（2）求最值问题，你打算如何解决？学生通过刚才的小结，可以答出：设未知数，建立二次函数模型，再求最值；此时，点名板演，师生交流。解：设矩形长为x，则宽是12－x．面积y=x(12－x)= －(x－6)2+36。学生可能发现该函数解析式与上题一样，此时，我设问：你认为两道题有区别吗？旨在让学生发现本题已赋予了实际背景。然后让学生小结，此类实际问题求最值的方法与过程。也就是先将实际问题转化为数学问题，再去建模求最值。再问：你认为这类题的关键是什么？学生可以答出：建立二次函数这种数学模型。 图1 图2在了解方法和关键后，我将训练学生应变能力，将题目进行变式教学，条件不变，改变了窗框形状：对于图1，提问：如何建立二次函数？学生可以设宽为x，易得y=，此时学生可以用配方法求顶点，我设问：还有其他方法得到顶点坐标吗？学生回忆答，用顶点公式（，）； 图2 对于图2，这是教材中的一道题，抓住此机会，教育学生课前要预习，不能脱离书本。在这里，我提问如下问题：（1）这扇窗户是由哪些基本图形组成的？（2）顶部半圆与长方形有联系吗？让学生发现半圆的直径就是长方形的宽；（3）这个求最值的问题用什么方法来解决？ 学生回答：设宽为x，建立二次函数。则半圆周长为，长方形的长为，所以面积y=·x+，写到这，学生可能会发现该式子难于化简，我在此时问：你认为怎样设未知数更便于计算呢？这主要向学生渗透设适当的元，便于计算的思想。经学生探索，发现如果设宽为2x会更好一点，解析式为y=，再根据抛物线顶点公式可得y的最大值。 为了在教学中渗透数形结合的数学思想，我又将此题变为：多一个要求“要求窗户的高在4m至5m之间”即4m≤h≤5m h问题：若还设宽为x，则高h怎么表示？学生口答：（2）你能根据h的范围求出自变量x的范围吗？学生可以解得（3）和上题相比，函数解析式变不变？学生回答：不变，仍为y=。我们知道当x=4时，y有最大值，但4不在x现在的范围内，本题实际上就是要求当时，求出y的范围，并在y的范围内找最大值。引导学生借助抛物线图象完成。 h 设计此题的出发点是：训练学生用数形结合的思想能解决自变量在特定范围情况下，函数的最值。 这是第一部分，第二部分为现实生活中的有关利润方面的求最值问题，我选取了一道商品问题：某产品每件成本是40元，试销阶段每件产品的销售价x(元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：（用函数的基本表达方式——表格呈现出y和x间的关系）。若日销售量y是销售价x的一次函数． （１）求日销售量y与销售价x的函数关系式； （２）要使每日的销售利润w最大，每件产品的销售价定为多少元？此时每日的销售利润w是多少元？ 对于问题（1）提问：既然y是x的一次函数，那么y与x间应满足什么样的关系式？y=kx+b（2）要求一次函数解析式，需要知道图象上几个点的坐标？学生能回答用待定系数法解需要2个点的坐标（3）那表格中剩下的一列数据多余吗？这个问题的设计主要培养学生学会用剩下的一列数据对解出的解析式进行检验。 对于问题（2）我将提问：每日利润该怎么算？若学生回答：用当日售价－成本价，我就继续问：还有没有别的方法？引导学生回答：用每件的利润×件数。再问：求利润的最大值也属于是求最值问题，你打算如何解决？学生能够得到：w=(x－40)(70－x)=－x2+110x－2800=－(x－55)2+225，可得当x=55时，w有最大值为225。 下面我继续进行变式教学，将题目变为：某产品成本价40元，若按50元一个售出时，能卖出500个.商场想采用提高售价的方法来增加利