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备战考试|千锤百练 PAGE PAGE 18 word可编辑 | 欢迎下载 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一〕试题 一、选择题：18小题，每题4分，共32分。以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如下图，那么曲线的拐点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】〔C〕 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.应选〔C〕. (2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，那么 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】〔A〕 【分析】此题考察二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和构造来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而，，从而原方程变为，再将特解代入得.应选〔A〕 (3) 假设级数条件收敛，那么 与依次为幂级数的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】〔B〕 【分析】此题考察幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是。因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.应选〔B〕。 (4) 设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，那么 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】〔B〕 【分析】此题考察将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D的图形， 所以，应选〔B〕 (5) 设矩阵，，假设集合，那么线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】， 由，故或，同时或。应选〔D〕 (6)设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ，其中 ，假设 ，那么在正交变换下的标准形为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(A) 【解析】由，故.且 . 所以。选〔A〕 (7) 假设A,B为任意两个随机事件，那么 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】由于，按概率的根本性质，我们有且，从而，选(C) . (8)设随机变量不相关，且，那么 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】 ，选(D) . 二、填空题：914小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 【答案】 【分析】此题考察型未定式极限，可直接用洛必达法那么，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一：〔罗比达法那么〕 方法二：〔等价无穷小替换〕 (10) 【答案】 【分析】此题考察定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】 (11)假设函数由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，那么 【答案】 【分析】此题考察隐函数求导. 【解析】令，那么 又当时，即. 所以，因而 (12)设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域，那么 【答案】 【分析】此题考察三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得 ， 其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以 (13) 阶行列式 【答案】 【解析】按第一行展开得 (14)设二维随机变量服从正态分布，那么 【答案】 【解析】由题设知，，而且相互独立，从而