第5讲--简便计算(四)——裂项相消法.docx

第 5 讲--简便计算(四)——裂项相消法 - 0 - - 0 - 把一个分数拆成两个或两个以第 5 讲 简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法） 把一个分数拆成两个或两个以 一：裂项相消法（拆分法）： 上分数相减或相 加的 形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法， 也叫拆分法。 二：列项相消公式 （1） 1 ? 1 ? 1 n(n?1) n n ?1 k （2） ? ? ? 1 ? 1 n n ? k n n ? k （3） 1 ? ( 1 ? 1 ) ? 1 n(n? k ) n n ? k k 1 ? 1 1 ? 1 （4） n ?n ?1??n ? 2? ? ? n ?n ?1?? ?n ?1??n ? 2?? ? 2 ? ? （5） a ? b ? 1 ? 1 a ? b a b a2 ? b2 b a （6） a ? b ? 三：数列 a ? b （1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数 （ 列。 (2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。 依次叫做这个 数列的第一 项（ 首项）、第 二项、、、、第 n 项（末项）。 （3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。 - - PAGE 1 - 四：等差数列 （1）定义：如果一个数列从第二项起，每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列 就叫做等差数列。而这个常数叫做等差数列的公 差。 （ ）等差数列的和2 = （ ）等差数列的和 （首项+末项）×项数÷2 （3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1 （ （4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1） 三：经典例题 例 1、 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 1? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 5? 6 6 ? 7 7 ?8 （例 1、例 2、例 3 的运算符号都是加号相连， 分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公 式 1 ? 1 ? 1 ） n(n?1) n n ?1 例 2、 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 2 6 12 20 30 42 56 1 1 1 1 1 1 1 1 1 例 3、1+3 +5 +7 +9 +11 +13 +15 +17 +19 6 12 20 30 42 56 72 90 110 例 4、 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 1? 3 3? 5 5? 7 7 ? 9 9 ?11 11?13 例 5 、 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 例 6、 1 1 1 +3 +5 1 +7 1 +9 1 3 15 35 63 99 3 15 35 63 99 例 7、 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1? 4 4 ? 7 7 ?10 10 ?13 13?16 例 8、 2 2 2 2 2 + + +L + + 1? 3 3? 5 5? 7 2001? 2003 2003? 2005 - +例 9、 3 5 - + 7 - 9 + 11 - 13 + 15 例 10、35 ? 49 ? 63 ? 77 ? 91 105 ? 2 6 12 20 30 42 56 6 12 20 30 42 56 （例 9 和例 10 的运算符号是一减一加，分母能 分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个数相 加的和。可用公式a ? b 1 1 ） a ? b ? a ? b 例 11 例 11、 + + + +L ? + 2 6 12 20 9702 9900 （观察到每个分数分母都比分子多1，分解分母， ）可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式，想方设法将每个分数的分子都变为 1，可用列项相消法巧算。 ） 例 12、 7 + 13 + 21 + 31 + 43 + 57 + 73 + 91 6 12 20 30 42 56 72 90 （观察到每个分数分子都比分母多1，分解分母， 可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形 ）式，想方设法将每个分数的分子都变为 1，可用列项相消法巧算。 ） 22 42 62 82 例 13、 + + + 102 + 1? 3 3? 5 5? 7 7 ? 9 9 ?11 例 14、 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 1? 2 ? 3 2 ? 3? 4 3? 4? 5 4 ? 5? 6 5? 6? 7 （观察到分子都是1，分母是连续的三个数相乘， 所以可以用公式 1 ? ? 1 ? 1 ?? 1 ） n ?n ?1??n ? 2? ? n ?n ?1? ?n ?1??n ? 2?? 2 ? ? 例 15、12 ? 22 ? 22 ? 32 ? 32 ? 42 ?L ? 20012 ? 20022 1? 2 2 ? 3 3? 4 2001? 2002 （观察此题可