第十章 无穷级数.docx

PAGE PAGE 10 第十章 无穷级数 第一节：常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 1、级数的定义： 一般地，设u , u , u ,?, u ,?是一个给定的数列，按照数列?u ?下标 1 2 3 n n 的大小依次相加，即u ? u 1 2 u ? ? u ?3 n ? ? ? ?? u ?n ? n?1 ，这个表达式称之为“无 穷级数”，常简称“级数”，u n 称之为级数的“通项”或称“一般项”， 2、前 n 顶部分和： s n 分和。 ? u ? u 1 2 u ? ? u ?3 n ? ? ?i?n u i n?1 称之为级数前n 项的部 当 n 取不同的数时，这部分和构成一个新的数列，?s n ?，这数列称之 为“部分和数列”，?s ?? u ,u ? u ,u ? u ? u ??? u ? u ??? u ，并定义： n 1 1 2 1 2 3 1 2 n 无穷级数的和为： s ? lim s ? ?? u 3、收敛和发散如果级数?? u n n?1 n?? n 的部分和数列?s n n n?1 ?存在极限，且等于s，则称无穷级 数?? u n n?1 收敛，极限s 称之为级数的和， 即s ? lim s ? ?? u ，并写成： s ? s ? u ? u ??? u ?? n?? n n n?1 ? 1 2 n 如果?s n ?没有极限，则称无穷级数?? u n n?1 发散。 4、收敛的无穷级数的余项： 如果?? u n n?1 收敛于s，则前 n 项的部分和和极限值s 的差值称之为级 数的余项。 “余项”用 r 表示， r ? s ? s ? n  ? ?? n?1  u n?1  ? u n?1  u n?2  ??? u? ?? 即，级数?? u n n?1 和数列?s n ?同时收敛或同时发散，在收敛时，其和为s， 发散的级数无“和”可言。 5、常见级数的前 n 项和公式： 1? 2 ? 3 ??? n ? 1 n(n ?1) ； 2 ? 4 ? 6 ? ? 2n ? n ?n ?1? ?2 ? ?1? 3? 5??? ? n2? ??1 n2 ；12 ? 22 ? 32 ??? n2 ? ? 1 n ?n ?1??2n ?1? 6 12 ? 32 ? 52 ?? ?? n2 ??21 1 ?n? 3 n42 ?1 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? ?4 ? n ?n ? 1 3 1 ? 1 ? 1 1 1?? ?? ? 1? ? 1 1? 2 2? 3 3? 4 n n ? 1 n ? 1 ? ? 几何级数（等比级数） ?n  aqn ? a ? aq ? aq2 ? aq3 ??? aqn a 1? qn ? ?? ? ? 当 q ? 1  n?0 时收敛，且?? n?0  aqn ? lim n??  a 1? qn 1? q q ? a 1? q 当 q ? 1 时发散。 应用：当a ? 1, q ? x ? 1 时， 1 ? ?? xn 1? x n?0 几何级数是收敛级数中最著名的一个级数， 挪威数学家阿贝尔 （Abel , Niels Henrik , 1802-1829 ）曾经指出，“除了几何级数外，数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数”。 等差级数： a 1 ?a 2 ? a ? d ?? ?a 1 3 ? a ? 2d ?? ? ?a ?1 n ? ? a ? ?n ?1?d ? 1 = ?n ??a ? ?n ?1?d ?? ? na ? 1 n ?n ?1?d n?1 1 1 2 二、收敛级数的基本性质 1、性质 1：如果两个级数收敛，即?? u n n?1  ? A,  ?? v n n?1  ? B ，a、b 是两任 意常数， 则有， n??? ?au n n?1  ? bv n  ?? aA ? bB （两个收敛级数的乘任意常数后相互进 行加减得到新级数也收敛） 2、性质 2：在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的收敛性。 3、性质 3：在一个收敛级数中，任意添加括号所得的新级数仍收敛于原来的和。 推论 1：如果加括号后所成的新级数发散，则原未加括号的级数也发 散。 4、性质 4（级数收敛的必要条件）：若级数?? u n n?1  收敛，则一定有： lim u ? 0 n?? n 即，若lim u n?? n ? 0 ，则级数??