考研数学高等数学强化习题-常数项级数级数.docxVIP

备战考试 | 千锤百练 PAGE PAGE 11 word版本 | 实用可编辑 模块十三 常数项级数 Ⅰ经典习题 一．具体级数收敛性的判别 1、判断以下级数的收敛性 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕 〔5〕 〔6〕 〔7〕 〔8〕 2、判断以下级数的收敛性〔包括绝对收敛与条件收敛〕 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕，〔〕 3、以下级数中不一定收敛的是〔 〕 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 4、以下级数条件收敛的是〔 〕 〔A〕 〔B〕 〔C〕，其中收敛. 〔D〕 5、对于常数，级数( ) (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性与k的取值有关 6、设为常数，那么级数 〔A〕绝对收敛 〔B〕条件收敛 〔C〕发散 〔D〕收敛性与的取值有关 7、判别级数的敛散性，并证明 二．抽象级数收敛性的判别 8、 (为常数) 〔 〕 〔A〕绝对收敛 〔B〕条件收敛 〔C〕发散 〔D〕敛散性有有关 9、设是微分方程满足初始条件的特解， 那么无穷级数? ( ) 〔A〕 绝对收敛 〔B〕 条件收敛 〔C〕 发散 〔D〕 敛散性不定 10、设函数在区间内可导，且导函数有界：，证明 〔1〕级数绝对收敛； 〔2〕存在． 11、设函数是微分方程当时的一个特解，试讨论级数的收敛性. 12、设在上单调增加，且 〔1〕证明级数收敛，并求其和； 〔2〕进一步设在上二阶可导，且证明级数收敛。 13、设正项数列单调下降，且发散，证明收敛. 三．收敛性的讨论 14、，且条件收敛，假设设，那么级数( ). (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛或发散取决于的具体形式 15、以下选项中正确的选项是( ) (A)假设，那么与有一样敛散性 (B)假设正项级数收敛，那么必有 (C)假设正项级数发散，那么必有 (D)正项级数的敛散性与有关 16、以下四个有关级数的论断 ①假设级数发散，那么 ②假设，那么必收敛 ③假设正项级数收敛，那么级数必收敛 ④假设且交织级数条件收敛，那么级数必发散 正确的选项是( ) (A)①与② (B)②与③ (C)③与④ (D)①与④ 17、假设级数收敛，那么级数 18、设有两个数列假设那么 19、假设级数均收敛，那么级数 20、符合以下哪一个条件，可由 发散推出发散 21、假设级数收敛，发散，那么级数 22、设收敛，那么 23、正项级数收敛是级数收敛的 24、如果级数收敛，那么级数 25、如果级数都发散，那么 26、级数收敛，那么以下级数中必收敛的是 27、以下命题成立的是 28、设有命题 〔1〕假设正项级数满足，那么级数必收敛； 〔2〕假设正项级数收敛，那么； 〔3〕假设，那么级数同敛散； 〔4〕假设数列收敛，那么级数收敛。 以上四个命题中正确的个数为〔 〕 Ⅱ参考答案 一．具体级数收敛性的判别 1. (1)收敛;(2)发散; (3)发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6收敛); (7) 收敛; (8); 收敛 2. (1)条件收敛;(2条件收敛; (3)条件收敛; (4) 绝对收敛; 3． 4． 5． 【解析】： 因为数列单调减少，且，故交织级数收敛.对于级数.由于，而级数发散，故级数发散，因此对任何常数级数条件收敛. 6． 【解析】：因为收敛，发散，所以级数发散. 7．收敛 【解析】： 因为 因为收敛，所以收敛，设其和为． 故 即而 所以　 二．抽象级数收敛性的判别 8． 【解析】： 由于 又收敛,故也收敛,也即绝对收敛 故正确选项是〔A〕 9． 【解析】: ,两边再对微分,得 把代入上面两个微分方程可得到由可知, 存在,使得在上, ,此时单调递增 所以有,由莱布尼茨定理知收敛. 故有 又,发散, 所以也发散,即有条件收敛. 10．【解析】：(1) 由于收敛，所以由比较判别法知，收敛，即绝对收敛． 〔2〕由级数收敛，那么它的前项局部和 当时极限存在. 所以存在，即存在，证毕． 11．绝对收敛 【解析】因为.由得． 根据泰勒公式，得 所以