第9章 微分方程 测试题 答案.docx

第 第 9 章 常微分方程测试题 讲义 第 PAGE 1 页 共 8 页 第 9 章 微分方程测试题 一、判断题（正确的请在括号内打√，错误的打×）。 1．若 y 1 (x) 和 y 2 (x) 是二阶齐次线性微分方程的解，则 y ? C 1 y (x) ? C 1 2 y (x) 是 2 其通解，其中C 、C 1 2 是两个任意常数。 （×） 解析 只有 y 1 (x) 和 y 2 (x) 是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的特解 时，其线性组合 y ? C 1 y (x) ? C 1 2 y (x) 才是其通解。 2 2． y ??? ? y ?? ? x ? 0 的特征方程为r3 ? r 2 ?1 ? 0 。 （×） 解析 y ??? ? y ?? ? x ? 0 为三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次线 性方程为 y ? ? y ? ? 0 ，由于齐次线性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函数 y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．因此， y ??? ? y ?? ? x ? 0 的特征方程为 r3 ? r 2 ? 0 ；而 y ? ? y ? ? y ? 0 的 特征方程为r3 ? r 2 ?1 ? 0 。 y ? ? 3 y? ? 2 y ? xe2 x 的特解形式可设为 y? ? x(ax ? b)e2 x ， a, b 为待定系数。 （ √ ）解析 对应的齐次方程为 y ? ? 3y? ? 2 y ? 0 ，特征方程为r 2 ? 3r ? 2 ? 0 ，特征 根为 r 1 ? 1,r 2 ? 2 。? ? 2 是特征单根，且P m (x) ? x ，于是，非齐次方程的特解应 设为 y? ? x(ax ? b)e2 x 。 y ? ? y 的通解为 y ? Cex （C 为任意常数）． （√ ）解析 特征方程为 r ? 1 ? 0 ，特征根为 r =1，所以，特征方程的通解为 y ? Cex ． 或者用分离变量法可得到答案。 二、选择题。 以下论断正确的是（ D ）。 所有微分方程都存在解 微分方程的通解包含了它所有的特解 每个微分方程都存在通解 以上说法都不对 微分方程 x( y?) 2 ? 2 yy? ? x ? 0 的阶数为（ A ）。 一阶 B. 二阶 C. 三阶 D. 四阶 微分方程 xydx ? 1 ? x 2 dy ? 0 的通解为（ C ）。 1? x21 ? x 1? x2 1 ? x 2 1? x2C. y ? Ce D. y ? 1? x2 以下函数能作为二阶微分方程通解的是（ B ）。 x 2 ? y 2 ? C B. y ? C sin 2 x ? C cos 2 x 1 2 C． y ? C x 2 ? C x ? C D. y ? ln(C x) ? ln(C sin x) 1 2 3 1 2 下列方程中，通解为 y ? C ex ? C 1 2 xex 的微分方程是（ A ）。 A. y ? ? 2 y? ? y ? 0 B. y ?? ? 2 y ? ? y ? 1 C. y ? ? y ? 0 D. y ? ? y 解析 由通解 y = C ex ? C 1 2 xex = (C 1 C x)ex 可知，它是二阶常系数齐次线性 2 微分方程的通解，方程的特征根为重根r = r 1 2 =1，对应的特征方程为(r ? 1)2 ? 0 ， 即r 2 ? 2r ? 1 ? 0 ，其所对应的二阶常系数齐次线性微分方程为 y ? ? 2 y? ? y ? 0 。 下列各组函数中（ B ）在其定义域区间内是线性无关的。 x ， 2x B. e? x ， e x C. e2 x ， 3e2 x D. sin 2x ， sin x cos x y ? ? 2 y? ? y ? (x ?1)ex 的特解形式可设为（ A ）。 x2 (ax ? b)ex B. x(ax ? b)ex C. (ax ? b)ex D. (ax ? b)x 2 解析 特征方程为r 2 ? 2r ? 1 ? 0 ，特征根为 r = r 1 2 =1．? =1 是特征方程的二 重特征根，于是有 y? ? x2 (ax ? b)ex 。 y ? ? y? ? 3x 2 的特解形式可设为（ C ）。 y ? ? ax 2 ? bx ? c B. y ? ? x(ax ? b) C. y ? ? x(ax 2 ? bx ? c) D. y ? ? x 2 (ax 2 ? bx ? c) 具有特解 y ? e? x ，y ? 2xe? x ，y ? 3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程 1 2 3 是