第十二章 拉普拉斯变换.docx

PAGE PAGE 10 第十二章 拉普拉斯变换 第一节：拉普拉斯(Laplace)变换概念与性质 一、拉普拉斯变换的概念 1、定义 1、设函数 f ?t ?的定义域为[0, ??) ，如果广义积分 F ?p?? ??? f ?t ?e? dt pt 0 在参数p 的某一区间内收敛，则称该式为 f ?t ?的拉普拉斯变换，简称 拉氏变换，并记为： L ? f ?t ?? ，即L ? f ?t ?? ? F ?p?? ??? f ?t ?e? ptdt ? ? ? ? 0 其中， F ?p?称之为 f ?t ?的“像函数”，而 f ?t ?称之为F ?p?的“像原函数”，也称之为 F ?p?的拉普拉斯 “逆变换”，记作； L?1 ?? F ? p??? ，即 f ?t?? L?1 ?? F? p??? 说明：（1）因定义中只要求 f ?t ?在t ? 0 时有定义，为讨论方便，今后 总假定在 t ? 0 时， f ?t ?? 0 （2）在更深入的讨论中，参数 p 可在复数范围内取值，由此可见， 求函数 f ?t ?的拉普拉斯变换，实质上就是通过广义积分转换成一个新的函数F ?p?，它是一种“积分变换”。拉普拉斯变换是分析和求解常 系数线性微分方程的一种简便的方法，在工程技术领域有着广泛和重 要的应用。 ?例 1、求单位阶梯函数h ?t?? ?0 ? ?1  t ? 0 的拉普拉斯变换 t ? 0 ? ??解：根据拉普拉斯变换的定义，知L ?h ?t ?? ? ?? ? ?? 0 pt dt ，该广义积分在 p ? 0 时收敛，（ p ? 0 ? e? px ? 1 ? 0 ）， e? ??而广义积分： ??? e? ptdt ? ? 1 e? pt |?? ? ? 1 ? 1 ? e ? 1 ? ? 0 ? ?p ? 0? p 0 p ? ep?? ? p 0 所以， L ?h ?t ?? ? ???1? e? ptdt ? 1 ?p ? 0? ? ? p 0 例 2、求指数函数 f ?t ?? eat 的拉普拉斯变换 解： L ? f ?t ?? ? F ?p?? ??? f ?t ?e dt ? ??e ? e dt ? ??e  ? ? ? dt ? ? ? pt at ? pt p a t 0 0 0 由例 1 可知，当 p ? a ? 0 ? p ? a 时收敛，且有； L ??eat ?? ? 1 ?p ? a ? p ? a 例 3、求函数 f ?t ?? at 的拉普拉斯变换 ?解： L ?at ?? ? at ? e? ?  pt dt 0 ? at ? e? ptdt ? ? a  ? ??td e? pt ? ? ?  a ?te? pt ? e? ptdt ? ? ? a ?  pt ?  1 ? e? pt ? C p p ? ? p ?te p ? ? ? 当 p ? 0 ? e? pt ?t????? ? 1 ? 0 ， t ?t????? ? ? 1 ? 1 ? 0 e? e pt pe pt ? p ?L ?at ?? ? a ?0 ? 0 ? 0 ? p ? ? 1 ? ? a p ?? p2 p ? ?p ? 0? 用类似的方法还可得： L ?sin ?t ?? L ?cos?t ?? ? p2 ??2 p p2 ? ?2 ( p ? 0) ( p ? 0) 附录：常用函数的拉普拉斯变换： 1、 f ?t ?? ? ?t ?? F ?p?? 1 2、 f ?t ?? h ?t ?? 1?t ? 0?? F ?p ?? 1 p 3、 f ?t ?  ? t n ? F ?p ?? n! pn?1 4、 f ?t ?? at ? F ?p ?? a p2 5、 f ?t ?  ? eat ? F ?p ?? 1 p ? a 6、 f ?t ?? 1? e?at ? F ?p?? a p ?p ? a? 7、 f ?t? ? teat ? F ?p?? 1 ?p ? a?2 8、 f ?t? ? tneat ? F ?p?? n! ?p ? a?n?1 9、 f ?t ?? sin?t ? F ?p ?? ? p2 ? ?2 10、 f ?t ?? cos?t ? F ?p ?? p p2 ? ?2 11、 f ?t ?? sin ??t ???? F ?p ?? 12、 f ?t ?? cos ??t ???? F ?p ?? p sin? ? ? cos? p2 ??2 p cos? ??sin? p2 ? ?2 13、 f ?t ?? r sin?t