第十三章：随机事件与概率.docx

PAGE PAGE 10 第十三章：数据处理、随机事件与概率 第一节：数据处理 一、平均数： （一）均值： 1、定义： ? ? ?若有一组数据：x , ? ? ? 1 2 n x ? 1 ( x ? x ? ? ? ? ? x ) ? 1 ?n x n 1 2 n n i i ?1 x 称为这组数据的均值，也称为算术平均值。 例题：测量一物体的长度，反复测量6 次，所得的数据如下： 数据 数据 4.8 4.9 5.0 次数 3 2 1 该物体的长度计算公式为： x ? 1 6 1 ( 4 .8 ? 4 .8 ? 4 .8 ? 4 .9 ? 4 .9 ? 5 .0 ) ? 6 (3 ? 4 .8 ? 2 ? 4 .9 ? 5 .0 ) 2、性质： ?n ( x i i ?1  ? x ) ? 0 对于任一常数C，有：?n ( x i i ?1 ? C ) 2 ? ?n ( x i i ?1  ? x ) 2 （二）加权平均数： 若： x ? x p ? x p ? ? x p ? ?n x p ? ? ? ? i ?1 x 称之这组数据的加权平均数。p i 称之 x i 的权。 p 的性质：（1）0 ? p i i ? 1 ；（2）?n p ? 1 i i ?1 （三）几何平均数： 若： x g  ? ( x ? x 1 2  1 ? ? ? ? x ) n n x 称之这组数据的几何平均值。 g （四）中位数： 将 n 组有限个数据按由小到大的顺序排列成数列： 1 2x , x ? ? ? 1 2 n 当 n 为奇数时，处于中间位置的数称之中位数，其中间位置 号是： M ? 1 2 ( n ? 1) 当 n 为偶数时，中间位置有两个数：x n 2 和 x n ?1 2 中位数是：x M ? 1 ( x 2 n x ) n ?1 2 2 例 1、求分别为：15、23、17、29、35、49、一组数据的中位数。解：按小大排序：15、17、23、29、35、49 n = 6 （偶数） x ? 1 ( 23 ? 29 ) ? 26 M 2 例 2、求分别为：23、24、26、29、10、19、48、52、96、一组数据的中位数。 解：按小大排序：10、19、23、24、26、29、48、52、96、 n = 9 （奇数） 中位号：M = 1 (9 ? 1) ? 5 2 x ? x M 5 ? 26 二、方差和标准差： （一）方差和标准差： 1、方差： 若：S 2 ? 1 ?n ( x n i i ?1  x ) 2 S 2 称之这组数据的方差。 2、标准差： 1 ?n 1 ?n n ( x ? x ) i 2 i ?1 S 称之这组数据的标准差。（也称之均方差） 数学意义：方差越大，说明这组数据越波动，越分散。 （二）极差和变异系数： 1、极差： R ? max{ x i } ? min{ x } （ 1 ? i ? n ； 1 ? j ? n ） j R 称之这组数据的极差。（最大值 — 最小值） 数学意义：极差反映了所有数据之间的最大差距。对于测量数据来说， R 显然是越小越好。 2、变异系数： 变异系数： cv ? S x 第二节：随机事件与概率 一、随机事件与概率： （一）随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象，称之随机现象。 在一定条件下，必然发生的事件，称之必然事件，用U 表示。 在一定条件下，一定不会发生的事件，称为不可能事件，用 ? 表示。在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。 随机事件的名称用 A、B、C、D、E 等大写字母表示。 （二）概率： A 事件发生的可能性的大小，称之事件的概率，用 P（A）表示。二、事件的关系和运算： （一）事件的包含与相等： 1、事件的包含： A ? B ： A 包含于B 或称：B 包含 A 如抽查 3 件产品，A 事件表示恰有一件次品；B 事件表示至少有一件次品。 A 事件：2 件正品，一件次品； B 事件：2 件正品，一件次品； （A 事件） 3 件正品，0 件次品： （C 事件） B 事件可以看成由A、C 两事件组合而成。 2、事件的相等： 若 A ? B 且 B ? A 则称：A = B （二）事件的和： 记为：A + B 概率含义：A 事件和B 事件至少有一个发生。 有三种情况：A 发生但 B 不发生；B 发生但 A 不发生；AB 同时发生。 例：甲射中目标的事件称为A；乙射中目标的事件称之B；目 标被击中为：A + B （ 被甲击中；被乙击中；同时被甲乙击中） （三）事件的积： 记为：AB 概率含义：事件A 和事件B 同时发生。 例 1、如上射击例，为目