第十四章：矩阵.docx

PAGE PAGE 10 第十四章：矩阵 第一节：矩阵的概念 方程组由其系数和右端项确定 ? a x ? a x ?? ? a x ? b a a ? a b ? 11 1 12 2 1n n 1 11 12 1n 1 ? a x ? a x ?? ? a x ? b a a ? a b ? 21 1 22 2 2n n 2 21 22 2n 2 ? ???? ? ? ? ? ??a x ? m1 1 a x m 2 2 ? a x ? b ?mn n m ? a a a b ?m1 m2 mm m ? ? ?矩阵 设mn 个数a (i ? 1,2, , m; j ? 1,2, , n) 排成m 行n ? ? ij ?a a a ? 11 12 1n a21 a22 ? a2n ? ? ? ?a a a ? m1 m2 mn 用括号将其括起来, 称为m ? n 矩阵, 并用大写字母表示, 即 ? a a ? a ? ? 11 12 1n ? A ? ?a21 a22 ? a2n ? , 简记为 A ? (a ) . ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? a a a m1 m 2 mn ij m?n a ij 称为 A 的i 行 j 列元素 (4) m ? n 称 A 为方阵 a ij 阵 a ij 阵 ? R 称 A 为实矩阵 (5) m ? 1, n ? 1 称 A 为行矩 ? C 称 A 为复矩阵 (6) m ? 1, n ? 1 称 A 为列矩 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵. ?1 0 ? 0?  ?? 0  ? 0 ? ? ? ? 1 ? ? 单位矩阵 E ? ?0 1 ? ?? ；对角矩阵 ? ? ? 0 2 ? ? ? ???n ?? ? ? 0? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ?0?0 ? 0 ? ? 0 ? 0 ? ? n 线性变换与矩阵 设变量 y , y 1 2 , , y ?m ? 可由变量x , x 1 2 , , x ?n ? 表示为 ? y ? a x ? a x ? ? ? a x ? 1 11 1 12 2 1n n ? y ? a x ? a x ? ? ? a x ? 2 21 1 22 2 2n n ? ???? ?? y ? m ? a x m1 1 a x m 2 2 ? a x ?mn n ? 称之为由变量 x , x 1 2 阵 , , x ?n ? 到变量 y , y 1 2 , , y ?m ? 的线性变换, 它与矩 A ? (a ) 是一一对应关系． ij m?n 第二节：矩阵的基本运算 同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵． 矩阵相等：设 A ? (a ij ) m?n , B ? (b ij ) , 若 m?n a ? b ij ij (i ? 1,2,?, m ; j ? 1,2,?, n) , 称 A ? B . 线性运算： A ? (a ij ) m?n , B ? (b ij ) m?n ?? a ? b ? ? a ? b ? 加法： ? 11 11 1n 1n ? A ? B ? (a ij b ) ij m?n ? ? ? ? ??a ? b ? m1 m1 a ? b ? ??mn mn ? ? ?? k a ? ? k a ? 数乘： kA ? (k a ij ? )m?n ? ) 11 1n ? ? ? ? ??k a ? m1 k a ? ??mn ? ? 负矩阵： ? A ? (?1 ) A ? (?a ) ij m?n ?? a ? b ?  ? a ? b ? 减法： ? 11 11 1n 1n ? A ? B ? (a ij b ) ij m?n ? ? ? ? ??a ? b ? m1 m1 a ? b ? ??mn mn ? ? 算律：设 A, B, C 为同阶矩阵, k , l 为常数, 则有 (1) A ? B ? B ? A (5) 1A ? A (2) ( A ? B) ? C ? A ? (B ? C) (6) (kl) A ? k (l A) A ? O ? A (7) (k ? l) A ? k A ? l A (4) A ? (? A) ? O (8) k ( A ? B) ? k A ? k B ?4 ? ? ?3 5 5 3 4例 1 设 A ? ? 1 ? 2 0? ?4 ? ?