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同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章-无穷级数 高等数学教案 §11 无穷级数 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出 比较判别法的极限形式； 莱布尼茨判别法； 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 函数项级数的收敛域及和函数； 泰勒级数； 傅里叶级数的狄利克雷定理。 §11? 1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数? 给定一个数列 u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ?? 则由这数列构成的表达式 u1 ? u2 ? u3 ? ? ? ?? un ? ? ? ? 叫做常数项)无穷级数? 简称常数项)级数? 记为? 即 ? 其中第n项u n 叫做级数的一般项? 级数的部分和? 作级数的前n项和 称为级数的部分和? 级数敛散性定义? 如果级数的部分和数列有极限s? 即? 则称无穷级数收敛? 这时极限s叫做这级数的和? 并写成 ? 如果没有极限? 则称无穷级数发散? 余项? 当级数收敛时? 其部分和s n是级数的和s的近似值? 它们之间的差值 rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ? 叫做级数的余项? 例1 讨论等比级数(几何级数) 的敛散性? 其中a?0? q叫做级数的公比? 例1 讨论等比级数(a?0)的敛散性? 解 如果q?1? 则部分和 ? 当|q|?1时? 因为? 所以此时级数收敛? 其和为? 当|q|1时? 因为? 所以此时级数发散? 如果|q|?1? 则当q?1时? sn ?na??? 因此级数发散? 当q??1时? 级数成为 a?a?a?a? ? ? ?? 时|q|?1时? 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零? 所以sn的极限不存在? 从而这时级数也发散? 综上所述? 如果|q|?1? 则级数收敛? 其和为? 如果|q|?1? 则级数发散? 仅当|q|?1时? 几何级数a?0)收敛? 其和为? 例2 证明级数 1?2?3?? ? ??n?? ? ? 是发散的? 证 此级数的部分和为 ? 显然? ? 因此所给级数是发散的? 例3 判别无穷级数 的收敛性? 解 由于 ? 因此 从而 ? 所以这级数收敛? 它的和是1? 例3 判别无穷级数的收敛性? 解 因为 ? 从而 ? 所以这级数收敛? 它的和是1? 提示? ? 二、收敛级数的基本性质 性质1 如果级数收敛于和s? 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛? 且其和为ks? 性质1 如果级数收敛于和s? 则级数也收敛? 且其和为ks? 性质1 如果? 则? 这是因为? 设与的部分和分别为sn与?n? 则 ? 这表明级数收敛? 且和为ks? 性质2 如果级数、分别收敛于和s、?? 则级数也收敛? 且其和为s??? 性质2 如果、? 则? 这是因为? 如果、、的部分和分别为sn、?n、?n? 则 ? 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项? 不会改变级数的收敛性? 比如? 级数是收敛的? 级数也是收敛的? 级数也是收敛的? 性质4 如果