巧用各种运动求曲率半径（发表于物理教学探讨）公开课.docVIP

PAGE PAGE 3 巧用 巧用各种运动求曲率半径 浙江省诸暨中学 侯位锋 曲率半径在数学上有严格的意义和表达式，而曲率半径的计算需要用到高等数学的知识。在中学阶段，我们可巧用各种运动来求曲率半径，具体举例如下。 1．利用平抛运动 Oθθvvyv0xy(x O θ θ v vy v0 x y (x，y) θ A O′ 解析：可以构建一个初速度为v0的平抛运动，建立抛出点为坐标原点，初速度方向为x轴的坐标系（如图所示）． 则x=v0t，y=gt2． 抛物线的轨迹方程为式中． 抛物线上任一点A的速度，设A点的曲率半径为ρ，则， 又因，所以， 化简此式得到： ． 2．利用匀速率运动 题目：四质点A、B、C、D在同一平面上运动。每时刻，A速度总对准B，速度大小为常量u，B速度总对准C，速度大小同为u，C速度总对准D，速度大小同为u， D速度总对准A，速度大小同为u。某时刻，A、B、C、D恰好逆时针方向按序位于各边长为l的的正方形四个顶点上，试求此时A 的运动轨道在此位置的曲率半径ρ。 ABCDllllu△uu△t△θ解析：经过△t时间，A、B、C、D位置变化如图所示。A的速度变化是△u，方向与u垂直，△u＝u△θ，又因u△t＝l△θ，则A的加速度为 A B C D l l l l u △u u△t △θ 又因A做匀速率运动，无切向加速度，a心＝a，根据ρ＝u2/a心，所以ρ＝l。 3．利用匀速直线运动与匀速圆周运动的合运动 题目：半径为R的轮子在水平直线MN上方纯滚动，轮子边缘上任意点P的运动轨迹不妨称为上滚轮线。如图所示，将上滚轮线绕MN向下翻转180°，成为下滚轮线。下滚轮线可看成R轮子在下方沿直线MN纯滚动时轮子边缘点P的轨迹。 R R R P M N 求此轨迹最低点的曲率半径ρ。 解析：点P的运动可以看成是水平方向的匀速运动设速度为v0，与竖直平面内的匀速圆周运动（角速度为ω）的合运动。根据纯滚动可知ω＝v0/R 而当P点运动到轨迹最低点时，速度（对地）2v0，向心加速度为a心＝v02/R 又因ρ＝（2v0）2/ a心，ρ＝4R。 同样方法其实可以求出任一点的曲率半径。即用上面方法可以求出滚轮线上任一点的曲率半径。 用匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动还可以来求等距螺旋线的曲率半径。 4．利用匀速直线运动与简谐运动的合运动 OxyPθvxvyva心题目：如图所示一余弦曲线y＝A O x y P θ vx vy v a心 解析：设质点在x方向做匀速直线运动，速度大小为v0，y方向做简谐运动y＝Acos v0t，则质点运动的轨迹为y＝Acosx。 则 vx＝v0 ax＝0 vy＝－v0Asin v0t ay＝－v02Acos v0t 当质点运动到P点时， 当0＜x＜π/2时 根据图线的对称性，则可得余弦曲线任一点的曲率半径。 5．利用匀速直线运动和一般变速直线运动的合运动 题目：求解曲线y=ex的曲率半径随x的分布ρ（x）。 解析：设质点沿y=ex轨道运动过程中，x方向分运动为x＝vt，即匀速直线运动。y方向分运动为y＝e vt， 则vx＝v，vy＝v e vt Ovyvxua＝aya O vy vx u a＝ay a心 x x y y 1 θ θ 如图所示， 则a心＝acosθ ＝ayvx/u＝v3 e vt/u ρ＝u2/ a心， ρ＝u3/ v3 e vt，又u＝ 则ρ＝（1+e2x）3/2ex 6．利用简谐运动和简谐运动的合运动 题目：求椭圆上，任意一点的曲率半径。 解析：可以构建一个这样一个运动，水平方向做简谐运动，振幅为a，恢复力 Fx=–k1x，x=acost，vx=–asint，所以， OyxθvvxvyO′FyFXθA（x，y）又因、，则k1=m．竖直方向也做简谐运动，振幅为b，恢复力Fy=–k2y O y x θ v vx vy O′ Fy FX θ A（x，y） ． 如图所示在椭圆上取一点A（x，y），物体运动到该点的速度 ，在该点物体受到的向心力 ， 又因Fx=–mx，Fy=–my， 所以． 设A点的曲率半径为ρ，则， 即， 又、， 则， 所以， 则。 7．利用匀变速曲线运动与匀速圆周运动的合运动 题目：半径为r的圆盘以角速度ω转动，现与水平面成α角以速度v抛出圆盘，圆盘运动时圆盘面保持竖直。求当圆盘上升到最大高度时，盘上最高点运动轨迹的曲率半径。 解析：圆盘上各点的运动可以看作是圆盘圆心的斜抛运动和绕圆盘的匀速圆周运动。由题意可知，圆盘中心在最高点的速度为vcosα，绕盘中心可以顺时针或逆时针转，则最高点的速度为vA＝vcosα±ωr， 最高点的加速度为aA＝aAO+aO，其中aAO为最高点相对于盘中心的加速度，大小为ω2r，方向竖直向下，aO为盘中心相对地的加速度，