南京9月模考卷解析（数三）.pdf

绝密 * 启用前 2022 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）模拟试题 （科目代码：303） 考生注意事项 1.答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。 2.答案必须书写在答题纸指定位置的边框区域内，写在其他地方无效。 3.填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。 4.考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。 一、选择题：1～10 小题，每小题5 分，共50 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求 的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）B （2）A （3）A （4）A （5）B （6）A （7）C （8）D （9）D （10）B 二、填空题:11～16 小题，每小题5 分，共30 分．请将答案写在答题纸指定位置上． （11） （12） （13） （14） （15 ） （16） 1 三、解答题:17～22 小题，共70 分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． （17 ）（本题满分10分）（Ⅰ）设函数 在点 处满足 .证明点 为曲线 的拐点；（Ⅱ）若函数 在点 的某邻域内有二阶连续导数，且 ， ，判别点 是否是曲线 的拐点. 【解析】（Ⅰ）设 则 由极限的保号性，在 的附近，有 所以有 因此 为曲线 的拐点。 （Ⅱ） 则 所以 所以 则 为曲线 的拐点. 2 （18 ）（本题满分12 分）设单增光滑曲线 位于第一象限，当 时，在区间 上以 为曲边的曲边梯形绕 轴旋转一周所得旋转体体积值曲线 与该曲边梯形的面积值 之 比为 ，且曲线 过点 ，求曲线 的方程. 【解析】 由题意知 1 ○ 令 由 的连续性可知 对上式继续求导 2 ○ 2 / 1 得 ○ ○ 积分得： 3 由 得 （19）（本题满分12 分）用变量代换 化简微分方程 ，再通过变换 ，求该微分方程的通解. 【解析】由 得 则 1 ○ 由 则 1 式变为 ○ 即 4 （20