考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1.pdf

考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷 1 (总分：60.00，做题时间：90 分钟) 一、 填空题 (总题数：6，分数：12.00) 1.设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2．如果 λ=0与 λ=1的特征向量分别是 α =(1，2，1) T 1 与 α =(1，-1，1) T ，则 λ=2的特征向量是 1． 2 （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 2.已知A= 相似，则 x= 1，y= 2． （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 填空项 1:__________________ 3.已知矩阵A= 有两个线性无关的特征向量，则 a= 1． （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 4.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2． （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 填空项 1:__________________ 5.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=2x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 的矩阵A= 1，规范形 是 2． （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 6.假设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x+ax 2 -2x 3 ) 2 +(2x 2 +3x 3 ) 2 +(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2 正定，则 a 的取值为 1． （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 二、 解答题 (总题数：24，分数：48.00) 7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 8.已知A= ，求A 的特征值、特征向量，并判断A 能否对角化，说明理由． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 9.已知A= ，A * 是 A 的伴随矩阵，求A * 的特征值与特征向量． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 10.已知A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 A，使P -1 AP=A． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 11.已知A 暑 3 阶不可可矩阵，-1 和 2 是 A 的特征值．B=A 2 -A-2E，求B 的特征值，并问B 能否相似对角 化，并说明理由． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 12.设 3 阶矩阵 A 的特征值 λ=1，λ=2，λ=3对应的特征向量依次为 α =(1，1，1) T ，α =(1，2， 1 2 4) T ，α =(1，3，9) T ． (Ⅰ)将向量 β=(1，1，3) T