考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷3.pdf

考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷 3 (总分：64.00，做题时间：90 分钟) 一、 选择题 (总题数：7，分数：14.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.设矩阵 A= ．则A 与 B （分数：2.00） A.合同且相似． B.合同但不相似． C.不合同但相似． D.既不合同也不相似． 3.下列矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00） A. B. C. D. 4.与矩阵 A= 合同的矩阵是 （分数：2.00） A. B. C. D. 5.设 A= ，则A 与 B （分数：2.00） A.合同且相似． B.合同但不相似． C.不舍同但相似． D.不合同也不相似． 6.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是 （分数：2.00） A.A，B 有相同的特征值． B.A，B 有相同的秩． C.A，B 有相同的行列式． D.A，B 有相同的正负惯性指数． 7.二次型 x T Ax 正定的充要条件是 （分数：2.00） A.负惯性指数为零． B.存在可逆矩阵 P，使P -1 AP=E． C.A 的特征值全大于零． D.存在 n 阶矩阵 C，使A=C T C． 二、 填空题 (总题数：6，分数：12.00) 8.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1． （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 9.二次型 f(x 2 ，x 2 ，x 3 )=x 2 2 +2x 1 x 3 的负惯性指数 q= 1． （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 10.若二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则 t= 1． （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 11.已知二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形 y 1 2 +2y 3 2 ，则a= 1. （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 12.设三元二次型 x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2tx 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型，则 t∈ 1． （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 13.已知A= ，矩阵B=A+kE 正定，则 k 的取值为 1． （分数：2.00） 填空项 1:__________________ 三、 解答题 (总题数：19，分数：38.00) 14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 15.设 A，B 均是 n 阶正定矩阵，判断 A+B 的正定性． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 16.已知二次型x T Ax 是正定二次型，x=Cy 是坐标变换，证明二次型 y T By 是正定二次型，其中 B=C T AC． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 17.证明二次型 x T Ax 正定的充分必要条件是 A 的特征值全大于 0． （分数：2.00） _________