春季精英课程第3册pc03讲包含与排除教师版.pdfVIP

第三讲 包含与排除 1、解决有重叠部分的若干对象的计数问题； 2、能利用文氏图进行辅助分析，清楚文氏图每一部分的含义； 3、通过探索与发现的过程，使学生亲历数学研究的成功和 ，感悟数学朴实无华的内在美。 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数， 不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个 数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： A ∪B＝A＋B－A ∩B (其中符号 “∪”读作 “并”，相当于中文 “和”或者 “或”的意思；符号 “∩”读作 “交”，相当于中文 “且的 意思。)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 A 类、B 类与C 类元素个数的总和＝A 类元素的个数＋B 类元素个数＋C 类元素个数－既是A 类 又是B 类的元素个数－既是B 类又是C 类的元素个数－既是A 类又是C 类的元素个数＋同时是 A 类、B 类、C 类的元素个数。 用符号表示为：A ∪B ∪C＝A＋B＋C－A ∩B－B ∩C－A ∩C＋A ∩B ∩C 讲演者： 得分： 一个长方形长12 厘米，宽8 厘米，另一个长方形长10 厘米，宽6 厘米，它们中间重叠的部分是一个边长 4 厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 【 】组合图形的面积＝长方形面积之和－重叠部分。组合图形的面积＝12×8＋10×6－4×4＝140 （平 方厘米）。 讲演者： 得分： 有三个面积各为30 平方厘米的圆，两两重叠的面 别为5 平方厘米、6 平方厘米、8 平方厘米，三个圆 共同重叠的面积为3 平方厘米 （如图）。三个圆共盖住多大面积？ 【 】三个圆共盖住面积：30＋30＋30－5－6－8＋3＝74 平方厘米。 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有 32 人，参加军棋比赛的有28 人，有 18 人两项比赛都参加 了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 【 】根据包含排除法直接得：32＋28－18＝42 （人）。 有100 位旅客，其中有10 人既不懂英语又不懂俄语，有75 人懂英语，83 人懂俄语。问既懂英语又懂俄语 的有多少人？ 【 】方法一：在 100 人中懂英语或俄语的有：100－10＝90 （人）。又因为有75 人懂英语，所以只懂 俄语的有：90－75＝15 （人）。从83 位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的 83－15＝68 人就是既 懂英语又懂俄语的旅客。 方法二：在 100 人中懂英语或俄语的有：100－10＝90 （人），学会把公式进行适当得变换，由包 含与排除原理，得：75＋83－90＝68 （人）。 解答：既懂英语又懂俄语的有68 人。 五一小学一共六个年级，举行各年级学生画展，其中 18 幅不是六年级的，20 幅不是五年级的。现在知道 五、六年级共展出22 幅画，问：其它年级共展出多少幅画？ 【 】（18＋20－22）÷2＝8 人。 1--5年级 1--4年级 14年级 与六年级 在某个风和日丽的日子，10 个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6 个人带了汉堡，6 个人带了鸡 腿，4 个人带了芝士蛋糕，有3 个人既带了汉堡又带了鸡腿，1 个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。2 个人既 带了汉堡又带了芝土蛋糕。问： （1）三种都带了的有几人？（2）只带了一种的有几个？ A B C 【 】如图，用A 圆表示带汉堡的人，B 圆表示带鸡腿的人，C 圆表示带芝士蛋糕的人。 （1）根据包含排除法，总人数＝(带汉堡的人数＋带鸡腿的人数＋带芝士蛋糕的人数)－(带汉堡、鸡腿的 人数＋带汉堡、芝士蛋糕的人数＋带鸡腿、芝士蛋糕的人数) ＋三种都带了的人数， 即10－（6＋6＋4）－（3＋2＋1）＋三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10－10＝0 （人）。 （2）求只带一种的人数，只需从10 人中减去带了两种的人数，