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考研数学三模拟题 2018 年(65) (总分：100.00，做题时间：90 分钟) 一、解答题 (总题数：39，分数：100.00) 已知y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx-dy 的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x 0 ，记y 0 =y(x 0 )．证明：（分数：4.00） (1). （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ (2). 均存在．（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 1.设 a＞0，函数 f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.已知曲线y=y(x)经过点(1，e -1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的 表达式． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 3.求解 （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 设 φ(x)是以 2π 为周期的连续函数，且 Φ(x)=φ(x)，Φ(0)=0．（分数：4.00） (1).求方程 y+ysinx=φ(x)e cosx 的通解；（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ (2).方程是否有以 2π 为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 4.设有方程 y+P(x)y=x 2 ，其中 试求在 (-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和 (1， +∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 设 （分数：4.00） (1).用变限积分表示满足上述初值条件的解 y(x)；（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ (2).讨论 是否存在，若存在，给出条件；若不存在，说明理由．（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 5.求微分方程 xy+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 6.求微分方程 (4-x+y)dx- (2-x-y)dy=0 的通解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 7.求微分方程