数值分析2.2.4带导数的插值.pptx

华长生制作 2 Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点 --------(1) 华长生制作 3 --------(2) 华长生制作 4 定义1. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值， 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项 式，记为Hk(x) , k为多项式次数 两点三次Hermite插值 先考虑只有两个节点的插值问题 华长生制作 5 希望插值系数与Lagrange插值一样简单 重新假设 华长生制作 6 其中 可知 由 华长生制作 7 可得 Lagrange 插值基函数 华长生制作 8 类似可得 即 将以上结果代入 华长生制作 9 得两个节点的三次Hermite插值公式 华长生制作 10 二、两点三次Hermite插值的余项 两点三次Hermite插值的误差为 华长生制作 11 构造辅助函数 均是 二重根 连续使用4次Rolle定理，可得， 使得 华长生制作 12 即 所以,两点三次Hermite插值的余项为 以上分析都能成立吗？ 华长生制作 13 例1. 解: 华长生制作 14 作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有 可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题， 我们可以使用分段两点三次Hermite插值 华长生制作 15 例 设f(x)=lnx，给定f(1)=0, f(2)=0.693147, f’(1)=1, f’(2)=0.5。用三次Hermite插值多项式H3(x)计算f(1.5)的近似值。 华长生制作 16 　　设在n+1个不同点的插值节点 　上，给定 　　　　　　　　　　　　　　　　　　。要求一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x),试的满足插值条件 一般的 Hermite插值多项式 华长生制作 17 利用 　　 构造多项式 这是一个次数不超过2n+1的多项式。 其中li(x)为Lagrange插值基函数，由条件得 由此得 （2.1.32） 华长生制作 18 同理可得 下面讨论唯一性问题，设还有一个次数不超过2n+1的多项式Gn+1(x)满足相同的插值条件。 令 　　　，则有 因为R(x) 是一个次数不超过2n+1的多项式，最多有2n+1个零点，但现在它有n+1个二重根 ，即有2n+2个零点，所以，必有R(x)=0,即H2n+1(x)=G2n+1(x)。 华长生制作 19 　　同样仿照Lagrange 插值余项的证明方法，可得下面的余项定理 　　定理 设 为[a,b]上相异节点， ,并且 f(2n+2)(x) 在(a,b)内存在，Hn+1(x)是满足前面插值条件的插值多项式，则对任何x∈[a,b],存在ξ∈(a,b),使得 华长生制作 20 带不完全导数的埃尔米特插值多项式举例 例 建立埃尔米特插值多项式 使之满足 如下插值条件： 解 二次牛顿插值多项式 满足插值条件 华长生制作 21 故可设满足题目条件的插值多项式是 显然它已满足第一个条件。两边求导，将第二个条件代入得 解之得到