实变函数论24讲课件.pptx

第24讲 单调函数的可导性 ;基本内容： 一．导数定义 问题1：回忆微积分中导数的定义， 如何判断导数是否存在？;从数学分析知道， 上的函数 在 处的可导性等价于 这也是我们讨论函数可导性的一个常用的方法。因此，我们也给上面的左、右极限一个名称，这就是; 左下、左上、右下、右上导数 定义3 设 是 上的有限 函数， ，记;第24讲 单调函数的可导性 ;当 f 在 点有有限导数时，也称 f 在 点可微。 ;第24讲 单调函数的可导性 ;第24讲 单??函数的可导性 ;定义4 设 f 是 上的连续函数， 若存在 使得 ， 则称 x 是 f 的右受控点，简称为右控点。若 存在，使 ， 则称 x 是 f 的左受控点，简称为左控点。 ;第24讲 单调函数的可导性 ;第24讲 单调函数的可导性 ;证明：设 E 是 f 的右控点集， ，于是存在 ，使得 。取 ，使 ，由 f 的连续性知存在 ，当 时，有 ，故当 时， 。这就是说， 中点都是 f 的右控点，从而 是 E 的内点，即 E 是开集。;设 是 E 的构成区间，往证对任意 ，有 。若不然，则有 ，使 ，由于 是右控点，故存在 ，使 。记 ， ，则显然有 ，所以 必不等于 。 ;第24讲 单调函数的可导性 ;因此对任意 ，必有 ，由的连续性知 。对于左控点集可类似证明，证毕。 不连续时，只要其不连续点都是第一类的，也可以定义右、左控点。;定义5 设 f 是 上的函数，且只有第一类不连续点。对 ，若有 ，使得 ， 则称 x 是 f 的右受控点，简称为右控点。类似地，若有 ，使 ， 则称 x 是 f 的左受控点，简称为左控点。 ;第24讲 单调函数的可导性 ;第24讲 单调函数的可导性 ;从而当 时， ，由于 ，故可选 ，使 ，这说明中的所有点也是右控点，所以 E 是开集。;第24讲 单调函数的可导性 ;第24讲 单调函数的可导性 ;这说明 。 ;第24讲 单调函数的可导性 ;第24讲 单调函数的可导性 ;另一方面，我们也可证明不能有 。若不然，由 得 ，于是存在 ，使 ， 进而