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第16关正态分布
.正态分布
正态分布的定义及表示
如果对于任何实数aM (a〈b),随机变量X满足P[a Xb) = ^(pikO(^则称 X的分布为正态分布,记作Ng 旳.
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(一般会告诉)
G)P(/i-aX/i+a) = 0.6826
?P(/i-2aX/i+2(7)= 0.9544
?P(/i-2aX/i+2a) = 0.9974
.正态曲线的性质
正态曲线Gs(x)=xe(-8,Ho)有以下性质:
正态曲线Gs(x)=
xe(-8,Ho)有以下性质:
⑴ 畛位于X祉方,与X轴不相交5 2)畛是单峰的,它关于直线X稲;
3)昵戋在x = 〃处达到峰值(4)昵戋与x轴围成的图形的面积为1;
(5)当b一定时,蟀随着,酸化而沿X轴珞
⑹当“一定时,衅的形状由o■确定,o■越卜 艘越“瘦高”,表示总体的分布
礙中;b越大,艘越“镂胖”,表示总体的分布越分散.
.三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的祇率值结合正态曲线求随机变量的概率.落在三 个邻域之外是小概率事件,这也是对产品进行质量检测的理论依据.
【高考速递1(2017全国I ,理19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每 天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm) .根据长期生产经验, 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N) .
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(〃- 3。〃 + 3。)
之外的零件数,求P(XZl)及X的数学期望;
(2)—天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(〃-3。〃 + 3。)之外的零件,就认为这 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i) 试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii) 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得无= £g^=9.97, s = 对 2=§蚌-16 旳 展.212, 其中改为抽取的第,个零件的尺寸,,=12…,16.
用样本平均数无作为〃的估计值用样本标准差s作为b的估计值云,利用估计值 判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除+ 之外的数据,用剩下的数据 估计〃和b (精确到0.01).
附:若随机变量z服从正态分布N3O2),则P(〃-3bZ〃+3b) = 0.997 4, 0.997 416 a 0.959 2 , J0.008 幻 0.09 .
【参考解析】 (1)抽取的一个零件的尺寸在(//-3O-JZ + 3C7)之内的概率为0.9974,
从而零件的尺寸在(〃-35卩, 36之外的概率为0.0026,故X?8(16,0.0026).
因此P(X1) = 1-P(X = 0)=1-0.997416 00.0408 .
X的数学期望为 EY = 16x0.0026 = 0.C416.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(〃-3勿〃 + 3。)之外的概率只有0.0026,
一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在3。〃 + 37)之外的零件的概率只有
0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产 过程可能出现了异常情况,需对当天的生产潺进行检查,可见上述监控生产过程的方法是
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合理的.
(H)由x= 9.97,5 ? 0.212,得〃的估计值为R = 9.97, b的估计值为糸= 0.212,
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(B-3E饥之外,因此需对当天的生产 过程进行检查.
易惓(〃-3$0 + 3分之外的数据9.22,
剩下数据的平均数为土(16x 9.97-9.22) = 10.02 ,因此//的估计值为10.02.
16
2x-=16x0.2122+16x9.972 ^1591.134,
f-1
易嶂(〃 —3$0 + 3分之外的数据9.22,
乘怀数
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