4.三角形中的特殊点及轨迹问题.doc

微专题4.三角形中的特殊点及轨迹问题 本节介绍解三角形中的特殊点与轨迹问题，特殊点主要指的是布洛卡点与费马点，轨迹问题主要指的是阿波罗尼斯圆和焦点三角形轨迹，最后再介绍一种常用的三角形：莱洛三角形. 这些问题都多次出现在高考和各地模考中，具有丰富的背景，值得我们深入研究. 1．布洛卡点,定义:已知P为△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α,则P为布洛卡点,∠α为布洛卡角. 例1．（2013全国1卷）在中，，，，为内一点，且. （1）若，求； （2）若，设，求. 解析：（1）由已知，∠PBC=60°，所以∠PBA=30°. 故 （2）设，由已知得，在?PBA中，由正弦定理得，化简得，故. 2．费马点 若三角形内有一点，满足到三角形三顶点连线最短，则该点被称为“费马点”.三角形中费马点分为两类：1、三角形三个顶角均小于120°，则费马点与各定点连线夹角均为120°；2、三角形有一角大于或等于120°，则费马点为这个角顶点，一般情况下中学研究费马点情况属于第一种. 例2．在一个三角形中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在外作等边，再作的外接圆，则外接圆与线段的交点即为费马点.若，则___________. 例3．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，函数的最小值为__________． 3．阿波罗尼斯圆 定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为 \t /item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/_blank 直径的圆.若,则圆的半径为，圆心为. 例4.在三角形中，内角、、对应的边分别为、、，已知，． （1）求的面积； （2）若，求． 解析：（1）， 解得：，， （2） 由(1)和余弦定理可得:，化简得： 消去，可得，即 4．莱洛三角形 例1．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（ ） （1）曲线不是等宽曲线； （2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长； （3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长； （4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2.莱洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率是（ ） A． B． C． D． 四．布洛卡三角形