概率论与数理统计Binder5.pdf

第 五 章 大数定律和中心极限定理 第一节 大数定律 1、随机变量序列的收敛 2 、概率不等式 3 、常见大数定律 4 、小结、思考 应用背景 在实际应用中，常遇到如下现象或问题 1、大量测量结果的平均值稳定在一个常数； 2 、事件发生的频率稳定于事件发生的概率， “频率的稳定性”到底是什么意思？实际中有 什么用? 3、为什么现实中大量随机变量近似服从正态分 布?在什么情况下可以认为随机变量近似服从正 态分布？ 4 、等等，诸如此类的问题。 一、随机变量序列的收敛性 定义5.1.1(依概率收敛) 设{X }是一个随机变量序 X 列， 是一个随机变量 n 或常数，若对于  0 任意的 ＞，有 lim P{| X X | } 0    n n  lim P{| X X | } 1 或者    n n  则称随机变量序列{X }依 X 概率收敛于 ， 为 记 n X P X lim X X, (P )  或者  n n n  注：随机变量序列依概率收敛不同于微积分中 的数列收敛。 依概率收敛与数列收敛的不同 (1)数列{an }收敛于a是指: 当n充分大时, 0, | an a |是必然的. (2)随机变量序 {X } 概率收敛于X是指:  0, 列 依 n 当n充分大时事件{| X X  发生的概率很大 , n | } , 不是 事件{| X X |}一 生. 并 说 定发 n , , , , 例1.设随机变量序列X1 X2