概率论与数理统计Binder6.pdf

第 六 章 数理统计的基本概念 第一节 总体、样本与统计量 1、总体、样本的概念 2 、统计量 3 、小结、思考 某厂生产的一批产品中次品率为p ，从中抽取 10件产品装箱。 问题： （1 ）没有次品的概率. （2 ）平均有几件次品. （3 ）为以 0.95的概率保证箱中有10件正品，箱 中至少要装多少件产品. 数理统计 问题的关键是 获取 p ? 的任务 一个很自然的想法：首先从这批产品中随机抽 取几件产品进行检验，其次利用概率论的知识 处理实测数据。 参数估计 （1 ）如何估计次品率p ? 问题 （2 ）如果以p 0.01为出厂的标准，这批产品 能否出厂？ 假设检验 问题 数理统计是以概率论为理论基础，研究如何以 有效的方式收集和整理受随机因素影响的数据 (称为试验设计)，研究如何合理地分析这些数 据从而作出科学的推断 (称为统计推断)。 这两部分有密切联系，实际应用中更应前后兼 顾，我们将主要介绍统计推断方面的内容。 一、总体与个体 总体研究对象的单位元素所组成的集合。 个体组成总体的每个单位元素。 在实际问题中，我们关心的是总体的一项 或几项数量指标值的分布情况。 例:考察电子元件的寿命时，我们感兴趣的是总 体中有多少个寿命在500h以上，有多少个寿命 在10h以下，从总体中任取一个个体，其寿命在 10h以下的概率有多大？… 这样要研究的总体实 质上是某个概率分布，因此我们将总体定义为 一个随机变量X 。 我们以后就把总体和数量指标 X 等同起来。 所谓总体分布就是指数量指标 X 的分布。 总体是随机变量 二、样本 为了研究总体的性质，看起来最好是把每 个个体都加以观测研究，但这往往是不必要的， 有时甚至是不可能的。 一般，我们是从总体中抽取一部分，比如 说 n 个进行观测，再根据这 n 个观测值去推断 总体的性质。 样本是按照一定的规则从总体中抽取的一 部分个体. 抽样就是抽取样本的过程. 样本容量是样本中个体的数目 n. 为了使样本具有代表性，抽样必须是随机的。 并且抽取一个个体后总体成分不变。 我们称与总体同分布且相互独立的样本为简单 随机样本，简称样本. 注（1 ）样本是一组随机变量。记为X 1 , ···, Xn （2 ）我们对样本进行一次观测时，其具体数值 记为x 1 , x2 , ···, xn ，称其为样本观测值，简称样 本值。 （3 ）若总体X 的分布函数为F( x ) ，X , X , ···, 1 2 Xn为来自F( x ) 的一个样本，则对 n 维随机变量 ( X , X , ···, X ) 1 2 n n F (x ,x ,...,x )  F (x ) 1 2 n  i i 1 （4 ）由独立同分布中心极限定理，当n 充分大 的时候样本均值服从正态分布或近似服