概率论与数理统计Binder4.pdf

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第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 1、随机变量的数学期望 2、常见分布的数学期望 3、随机变量的函数的数学期望 4、随机变量的数学期望的性质 5、小结、思考 例. 摸彩赌博问题 一个庄家在一个签袋中放有8个白、8个黑的围棋 子.规定:每个摸彩者交一角钱作“手续费”,然 后一个从袋中摸出五个棋子,按下面“摸子中彩 表”给“彩金”. 摸到 五个白 四个白 三个白 其它 彩金 2元 2角 5分 共乐一次 庄家付出的彩金Y 的分布律为 Y 0 0.05 0.2 2 P {Y = y } 0.5001 0.3589 0.1282 0.0128 i 假设进行了100人次的赌博, 则他可能需付出的 彩金为: 0 ×0.5001 ×100+0.05 ×0.3589 ×100 +0.2 ×0.1282 ×100+2 ×0.0128 ×100 =1.7945+2.564+2.56=6.9185(元) 平均每人次付出的彩金为 0.06919(元)=0 ×0.5001+0.05 ×0.3589+0.2 ×0.1 282 +2 ×0.0128 4  y P{Y y }  i i i 1 是随机变量的所有可能取值按概率大小的加权平 均值. 思考:与彩金的算术平均 (0+0.05+0.2+2)/4=0.5625(元) 比较,哪个更合理? 一. 随机变量的数学期望 定义:设X是离散型随机变量,其分布律为 P X x  p , i 1,2,; i i  若 x p ,则称  i i i 1  E(X )  x p  i i i 1 为X的数学期望或均值。 设连续型随机变量X的概率密度为f (x ),  若 x f (x )dx ,则称  E(X )  xf (x )dx 为X的数学期望或均值。 注: 随机变量的数学期望是它所有可能取值的 加权平均值,是一个数. 定义中要求无穷级数绝对收敛, 保证数学期 望有唯一的数值. 并非所有的随机变量X 都存在数学期望。 如果绝对收敛不能得到满足, 称随机变量的 数学期望不存在. 1 (1) 设RV. .X服从 , 例 拉

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