第五周考研数学核心公式自测-微分方程.docx

考研数学核心公式自测-微分方程 解的结构 C1  y1  (1) 若 y1 ( x) ( x) ? C y ( x 2 2  , y2 ( x) ) 是  为 二 阶 齐次 线性 方 程的 两 个特 解 的解. 特别地,当 y1 ( x) ?  , 则 它 们的 线 性组 合 ?y2 ( x) ( ? 为常数),也即 y1 ( 是  x) 与 y2 ( x) 线性无关时,原方程的通解为 . ( x) (2) 若 1 , 2 为二阶非齐次线性方程的两个特解,则 1 y ( x) y y ( x) ? 的解. 若 y * ( x) 为二阶非齐次方程的一个特解,而 C1 y1 ( x) ? C2 y2 ( x)  y2 ( x) 为对应的二阶齐次 线性方程的通解, 则 是此二阶非齐次线性方程的通解. (4) 设 y * ( x) 与 y * ( x) 分别是 y?? ? P( x) y? ? Q( x) y ? f ( x) 的特解, ?i ? ?则 1 2 i y * ( x ) ? y * ( x) 是 的特解. 二阶常系数齐次线性微分方程解的情况 r 2 ? pr ? q ? 0 的两个根 r , r 微分方程 y?? ? py? ? qy ? 0 的通解 1 2 r1 , r2 为两个不同的实根 r1 , r2 为两个相同的实根 r1 , r2 为一对共轭的虚根? ? ?i 1 / 4 二阶常系数非齐次线性微分方程解的情况 f ( x) 的形式 条件 特解的形式 若? 不是特征方程的根 ? x f ( x ) ? P ( x)e n 若? 是特征方程的单根 Pn ( x) 为 n 次多项式 若? 是特征方程的重根 f ( x ) ? e? x [ P ( x ) cos ? x ? Q ( x ) sin ? x] 若? ? ? x 不是特征方程的根 n m Pn ( x) 和 Qm ( x) 分别为 n 次和 m 次多项式 若? ? ? x 是特征方程的根 2 / 4 考研数学核心公式自测答案-微分方程 解的结构 (1) 若 y1 (x) , y2 (x ) 为 二 阶 齐次 线性 方 程的 两 个特 解 , 则 它 们的 线 性组 合 C1 y1 (x ) ? C2 y2 (x )是 原齐次微分方程的解 . 特别地,当 y1 (x ) ? ?y2 (x )( ? 为常数),也即 y1 (x)与 y2 (x )线性无关时,原方程的通解为 y ? C1 y1 (x ) ?C2 y2 (x ). (2) 若 1 , 2 为二阶非齐次线性方程的两个特解,则 1 2 是对应的二阶 y (x) y (x ) y (x )? y (x ) 齐次线性方程的解. 若 y * (x )为二阶非齐次方程的一个特解,而 C1 y1 (x ) ? C2 y2 (x )为对应的二阶齐次线 y ? C y (x ) ? C y (x )? y * (x ) 设 y1* ( x )与 y 2* ( x )分别是 y?? ? P(x )y? ? Q (x )y ? f i (x )的特解, ?i ? 1, 2 ?则 * * y?? ? P(x )y? ? Q (x )y ? f (x )? f x( ) 二阶常系数齐次线性微分方程解的情况 r 2 ? pr ? q ? 0 的两个根 r ,r 微分方程 y?? ? py? ? qy ? 0 的通解 1 2 r ,r 为两个不同的实根 y C e r1 x C e r2 x C ,C ?R 1 2 1 2 12 r , r 为两个相同的实根 y C C x e rx C ,C ?R 1 2 1 2 12 r1 ,r2 为一对共轭的虚根? ? ?i y ? e? x ?C1 cos ? x ? C2 sin ? x? 二阶常系数非齐次线性微分方程解的情况 f (x) 的形式 条件 特解的形式 ? x 若 ? 不是特征 y * ? Qn ?x ? e? x f (x ) ? Pn (x )e 方程的根 3 / 4 P ( x) 为 n 次多项式 ? y ? Q ?x ? ? x 若 是特征方 ? x ? e n n 程的单根 若 ? 是特征方 y ? Qn ?x ? ? x ? x ?e 程的重根 ? x [ P ( x ) cos ? x ? Q ( x ) sin ? x] ? ? ? x y ? x ?R ?x ? ? x ?T ?x ? ? x? ， f ( x ) ? e 若 不是 ? e n m ? l l ? Pn ( x) 和 Qm ( x) 分别为 n 次和 m 次多项式 特征方程的根 其中， l ? ?n