利用洛必达法则解决导数问题.docx

利用洛必达法则解决导数问题 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：典型例题剖析 高频考点一：洛必达法则的简单计算 高频考点二：洛必达法则在导数中的应用 第一部分：知 第一部分：知 识 点 精 准 记 忆 一、型及型未定式 1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式. 2、定理1（型）：（1）设当时， 及； （2）在点的某个去心邻域内（点的去心 HYPERLINK 邻域内）都有，都存在，且； （3）； 则：. 3、定理2（型）： 若函数和满足下列条件：(1) 及； 　　(2)，和在与上可导，且； 　　(3)， 那么 . 4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1) 及； 　　(2)在点的去心 HYPERLINK 邻域内，与可导且； 　　(3)， 那么 =. 5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立. 6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止: ,如满足条件，可继续使用洛必达法则. 二、型、、、型 1、型的转化： 或； 2、型的转化： 3、、型的转化：幂指函数类 第二部分：典 第二部分：典 型 例 题 剖 析 高频考点一：洛必达法则的简单计算 1、判断下列计算是否正确 ； 解：由于中分子记为，分母记为，不是未定式，不能直接使用洛必达法则. 2、求（本题属于型；） 解：原式=（属于型，继续使用洛必达法则） =（不属于未定型，直接将代入分子分母） = 3、求（本题属于型；可使用洛必达法则） 解：原式=（不属于未定型，直接将代入分母） =0 4、求（本题属于型，可使用洛必达法则） 解：原式=（不属于未定型，直接将代入分子） =0 5．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（???????） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】 ， 故选：D 6．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则________． 【答案】##0.5 【详解】 故答案为： 7．（2022·山东省临沂第一中学高二阶段练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则______． 【答案】2 【详解】 由题可得. 故答案为：2. 高频考点二：洛必达法则在导数中的应用 1．（2021·全国·高三专题练习）若不等式对于恒成立，求的取值范围？ 【答案】 【详解】 当时，原不等式等价于.记， 则. 当时，令，则，可知在上单调递增，所以，即， 所以.因此在上单调递减. ；. 所以. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) (1) 解：,??? ； 函数在处取得极值， ???； 又曲线在点处的切线与直线垂直， ； 解得：； (2) 不等式恒成立可化为， 即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令， 则； 令， 则； 令， 则； 得在是减函数， 故， 进而 （或，， 得在是减函数，进而）． 可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值， 当时，没有意义，由洛必达法得， ． 3．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（理））已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求、的值； （2）如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）（-，0] 【详解】 （1） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，． （2）当，且时，，即， 也即，记，，且 则， 记，则， 从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. 由洛必达法则有 ， 即当时，，即当，且时，.因为恒成立， 所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为. 4．（2022·全国·高三专题练习）