非线性方程的求根方法.pptx

非线性方程的求根方法;牛顿法是方程求根问题的一个极其基本的、十分重要的算法。 基本思想：是将非线性方程f(x)=0逐步线性化而形成迭代公式。 具体作法：;记其根为xk+1，则xk+1是方程f(x)=0的一个新的近似根 ; y = 0;牛顿迭代法的一个应用——求正数平方根;例1 平方根迭代 (k =0, 1, ·····) 的收敛性证明及收敛阶估计. ;数列 { xk }单减有下界, 故必有极限. 设为x*, 对递推式;由此可知, 平方根迭代 是 平方收敛. ;Newton迭代法的局部收敛性;则;缺陷;Newton迭代法陷入死循环的另一个例子;;牛顿法的计算步骤： 1）给出初始近似值x0，及精度;例2.5 用牛顿法解方程 x=e–x 在 x0=0.5 附近的根。;取x0＝0.5作为迭代初值。迭代结果如下表;(k = 0, 1, ·····);定理(全局收敛性): 若函数f(x) 在[a，b] 上满足条件 （1）f(a) f(b) 0； （2）f ’(x) ≠0 （3）f”(x) 在[a，b]上连续且不变号（恒为正或恒为负）； （4）取x0∈[a，b] 使得 f(x0)f ”(x0) 0。;Newton迭代法的变形－弦截法;;第20页/共27页;第21页/共27页;设x*是方程 f(x)=0 的根, x0和x1是x*附近的两个点.;;f=inline(‘u.*cosh(50/u)-u-10); a0=120;a=150;k=1; y0=f(a0);y=f(a); while abs(a0-a)0.0001 t=a-y*(a-a0)/(y-y0); a0=a;y0=y; a=t;y=f(a); k=k+1; end;牛顿迭代法的收敛域问题: 用牛顿迭代法求解复数方程 z3 – 1 = 0，该方程在复平面上三个根分别是;第26页/共27页