函数图象与性质板块二函数奇偶性与对称性教师版普通高中数学复习讲义Word版.doc

函数图象与性质.板块二.函数奇偶性与对称性.教师版普通高中数学复习讲义Word版 函数图象与性质.板块二.函数奇偶性与对称性.教师版普通高中数学复习讲义Word版 羄PAGE 薂羅 芁薅 芆蚁 蚆袁 芁芃 莁蒈 蚇薁 膃肂 莄袅 蒁肇 函数图象与性质.板块二.函数奇偶性与对称性.教师版普通高中数学复习讲义Word版 板块二.函数的奇偶性与对称 性 （一）主要知识： 1．奇函数：如果关于函数 那么函数  y f(x)  f(x)的定义域 就叫做奇函数；  D内任意一个  x，都有  xD，且  f(x)  fx( )  ， 2．偶函数：如果关于函数yg(x)的定义域D内任意一个x，都有xD，都有g(x)g(x)，那么函数g(x)就叫做偶函数． 3．图象特点：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称 图形，则这个函数是奇函数； 如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以  y轴为对称轴的轴对称图形，反 之，如果一个函数的图象关于  y轴对称，则这个函数是偶函数． 4．奇偶函数的性质： ⑴函数拥有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ⑵f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点 对称； ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内拥有相反的单调性． ⑷f(x)为偶函数 f(x) f( x) f(|x|)． ⑸若奇函数f(x)的定义域包含 0 ，则f(0)0． ⑹对称性 关于y轴对称：f( x) f(x)； 关于原点对称： f( x) f(x)； 关于直线xa对称：f(a x) f(a x)或f(x) f(2ax)； 关于点(a,b)对称：f(x) 2b f(2a x)或f(a x)bbf(ax)。 （二）主要方法： 1.判断函数的奇偶性的方法： ⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数； 若对称，则再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否定义域上的恒等式； ⑵图象法； ⑶性质法：①设 f(x) ， 的定义域分别是D1,D2 ，那么在它们的公共定义域 D D1D2 g(x) 上：奇奇奇，偶 偶 偶，奇奇偶，偶 偶 偶，奇偶 奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数； 2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： f(x)f(x) 0，f(x) 1． f( x) 典例解析 题型一：判断函数奇偶性 1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x)f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断． 【例1】判断下列函数的奇偶性： y1； x ⑵ y x4 x2 2； ⑶ y x3 x； yx31． 【考点】判断函数的奇偶性【难度】1星【题型】解答 【重点词】无 【解析】 【答案】⑴奇函数；⑵偶函数；⑶奇函数；⑷非奇非偶函数． 【例2】判断下列函数的奇偶性： ⑴f(x)x4； ⑵f(x) x5；⑶ f(x) x 1 ； ⑷f(x) 1 ． x x2 【考点】判断函数的奇偶性 【难度】1 星 【题型】解答 【重点词】无 【解析】⑴关于函数f(x) x4，其定义域为( , )． 因为对定义域内的每一个 x，都有f( x) ( x)4 x4 f(x)， 所以函数f(x)x4为偶函数． 近似地，⑵为奇函数；⑶为奇函数；⑷为偶函数． 【答案】⑴为偶函数⑵为奇函数；⑶为奇函数；⑷为偶函数． 【例3】判断下列函数的奇偶性并说明原因： 1 a 2x ⑴f(x) 2x (a0且a 1)； 1 a ⑵f(x) x 1 1 x； ⑶f(x) x2 5|x|． 【考点】判断函数的奇偶性 【难度】2 星 【题型】解答 【重点词】无 【解析】⑴函数的定义域为( ,0) (0, ) ∵f( x) 1a2x (1a2x)a2x a2x 1 f(x) 1a2x (1a2x)a2x a2x 1 ∴函数f(x) 1 a2x 为奇函数； 1 a2x ⑵由x 1 ≥ 0，得x 1，∴函数的定义域为{1}． 1 x≥ 0 由于函数的定义域不关于原点对称， ∴f(x) x 1 1 x为非奇非偶的函数． ⑶函数的定义域为R，且f( x)( x)2 5| x|x2 5|x| f(x) ∴函数f(x) x2 5|x|为偶函数． 【答案】⑴为奇函数⑵为非奇非偶的函数⑶为偶函数 【例4】鉴识下列函数的奇偶性： （1）f(x)x 3 1 ；（2）f(x) |x1| |x 1|；（3）f(x)x2 x3. x 【考点】判断函数的奇偶性 【难度】2 星 【题型】解答 【重点词】无 【解析】（1）原函数定义域为 {x|x 0}，关于定义域的每一个 x，都有