函数求值域的方法.doc

不同函数种类值域求解方法归纳 题型一：二次函数的值域:配方法(图象对称轴) 例1．求f(x)x2ax6的值域 解答：配方法：f(x) x2 ax 6 x a 2 6 a2 6 a2 2 4 4 所以值域为6 a2 ， 4 例．求f(x) x2 x6在 1，1上的值域 2 1 2 23 解答：函数图像法： f(x) x2 x 6 x 2 4 画出函数的图像可知， f(x) x2 x 6在x 1 时取到最小值 23 ，而在 2 4 x1时取到最大值 8，可得值域为 23， 。 8 4 例3．求f(x) x2 ax6在 1，1上的值域 解答：由函数的图像可知，函数的最值跟 a的取值有关，所以进行分类议论： ①当a 2时，对称轴在x 1的左侧，所以根据图像可知， fmax f(1) 7 a，fmin f(1) 7a,此时值域为7 a，7a. ②当 2a 0时，对称轴在x 1与y轴之间，所以根据图像可知， fmax f(1) 7 a，fmin f( a 6 a2 ,此时值域为6 a2 ， ) 4 4 7a. 2 ③当0 a 2时，对称轴在y轴与x 1之间，所以根据图像可知， fmax f(1) 7 a，fmin f(a)6 a2, 2 4 本源：网络转载 所以此时值域为 a2 ， 6 7a 4 ④当2a时，对称轴在x1的右侧，所以根据图像可知， fmaxf(1) 7 a，fmin f( 1)7a 所以此时的值域为 7a，7a 题型二：指数、对数函数的值域 :采用换元法 例4．求f(x) log2 x2 2x6 的值域 解答：复合形式用换元：令t x2 2x6，则由例1可知，t 5, 根据单调性，可求出log2 t的值域为log25, 例5．求f ( ) 4x 2x 1 6 的值域 x 解答：因为4x 2x2 ，所以，采用换元法，令t2x ，则t 0, 则原函数变为 t 2 t 6，可以根据二次函数值域的求法获得值域为 6, 2 题型三：分式函数的值域 分式函数的值域方法：(1)分别变量(常数)法;(2)反函数法(中间变量有界 法);(3)数形结合(解析几何法：求斜率);(4)鉴识式法（定义域无限制为R）; 2x 3 例6．求函数f(x) 的值域 x 1 解法一：分别变量法。将分式中分子部分的变量分别出去。则可以换元，令 2t 1 2 1 tx 1，原函数变为 t t，由反比率函数的性质可知，值域为 ,2 2, 解法二：反函数法。利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令 2x 3 ，则yx 3 y yf(x) 1 y2x3，获得x ，可知y2 x y 2 例．求函数f(x) 2x 3 在0，1的值域 7 x 1 本源：网络转载 解法一：分别变量之后采用函数图像法。令t x 1，t 1,2，原函数变为 2t 1 21，可以画出2 1的图像，也许根据单调性直接可以获得值域为 t t t 5， 2 3 3 y 代入0，1中，求解0 3 y 1 解法二：反函数法。将x 2 y 2 不等式，可 y 以获得值域范围 5， 。 3 2 例8．求函数f(x) x2 3x 3 x 1 的值域 解法一：分别变量法，令t x 1 ，原函数变为t2 t 1 t 1 1 t t 由均值不等式可知当t 0,t 1 2，当t 0,t 1 2，可以获得原函数 t t 的值域为 , 13, 解法二：鉴识式法。令y f(x) x2 3x 3 ，则yx y x2 3x3， x1 整理得关于x的一元二次方程x2 3 yx 3 y 0，知足方程有解，该 方程的鉴识式 3 y2 43 y 0可得y 1或y 3,即函数的值 域为 ,1 3, 例．求函数f(x) x2 3x 3 在0，1的值域 9 x 1 解答：此题限制了定义域，致使鉴识式法无效，采用分别变量法，画出函数图 像来求函数的值域。 令t x 1，t 1,2 ，原函数变为t2 t 1 t 1 1画对勾函数图像， t t 本源：网络转载 1 5 7 可得t 的值域范围是 2， ，则函数的值域为 3， t 2 2 题型四：三角函数的值域 求三角函数的值域方法：（1）二次换元配方；（2）三角函数有界性； （3）数形结合（单位圆求斜率）。 例：求函数f(x)3sinx4cosx2 的值域 解答：使用辅助角公式，f(x)3sinx 4cosx25sinx 2，可 知函数的值域为 例10．求函数  3，7 f(x)3sin2x4cos2x2的值域 解答：先化简，再转为一次三角函数后使用辅助角公式， f(x) 3sin2x 4cos2x2 3sin2x2cos2x 2 2 13sin2x 4 可知函数的值域为 4 13，4 13 例11．求函数f(x) cos2x 4cosx 2的值域 解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次