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yiTabiao.net 论女第表站凉 几何不等式与曲率流 【摘要】：本文主要由两个部分组成，第一部分涉及曲线的一些不等 式以及Minkowski支撑函数的一个应用；第二部分讨论欧氏平面上闭 凸曲线的保长度流和曲面上曲线缩短流的一个应用。 具体地讲，在第 一部分中，首先 讨论平面上闭凸 曲线的强 Bonnesen型不等式 （2. 1. 3）（公式的编号和参考文献的编号引自后面的正文 ）,Bonnesen 在文［12］中先证明了较弱的不等式（2. 1. 2）,几年以后，在他的著作 ［13］中，讨论了多种Bonnesen型不等式，其中包括不等式（2. 1. 3）, 不过，他把（2. 1. 3）作为高维欧氏空间中凸体的 Kritikos定理的直接 推论，我们这里对不等式（2. 1. 3）给出独立的存在性证明，并且还 对平面闭凸曲线的bi-enclosing环的宽度给出了一个估计。其次，对 双曲平面上的曲线引入平均测地曲率的概念， 并讨论双曲平面上凸曲 线的嵌入性与它的平均测地曲率之间的关系， 其目的是为了将双曲平 面上曲线的性质与欧氏平面中曲线的性质作一些对比； 最后，我们利 用Minkowski支撑函数构造了一类新的非圆的光滑常宽曲线， 其目的 是想回答有关常宽曲线的一些未解决问题 （如是否存在非圆的多项式 常宽曲线？等等）。在第二部分中，首先仿照Gage-Hamilton［28］的曲线 缩短流、Gage［26］的平面凸曲线保面积流和作者在［47］中所讨论的平 面凸曲线流，给出欧氏平面上闭凸曲线的保长度流， 这种流具有物理 和应用背景。本文证明在这种新的曲线流之下，闭凸曲线周长保持不 变、所围区域的面积不断增大而曲率保持恒正（从而保持凸性），并且， 随着时间的推移曲线变得越来越圆，最终当时间 t趋向于无穷大时， 曲线在Hausdorff度量意义下收敛到一个圆周。然后，仿照Topping[51] 和[52]利用平均曲率流证明等周不等式的想法，我们利用曲面上的曲 线缩短流在Gauss曲率非正的曲面上证明了一个等周不等式 （6.3.1）, 它可以看成欧氏平面上 Ban choff-Pohl[8]不等式在曲面上的推广。 Howard[34]中已经给出了不等式（6. 3. 1）,在那里不等式（6. 3. 1） 是一种特殊的Sobolev不等式的直接结果，我们这里只是利用曲面上 的曲线缩短流给出一种新的证明。【关键词】：Bonn esen型不等式闭 凸曲线的bi-enclosing环双曲平面上的嵌入曲线平均测地曲率常宽曲 线Minkowski支撑函数发展方程保长度流曲线缩短流等周不等式 【学位授予单位】：华东师范大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2001 【分类号】：0178 【目 录】： 1In troducti onan dPrelimi naries9-211.1l ntroductio n9-101.2HistoryofCurva tureFlow10-161.3SomeFactsaboutPla neCurves16-212O nTheExiste nceOf Bi-e nclosi ngAnn ulus21-292.1l ntroductio n21-232.2Existe nceOfTheBi-e n closi ngA nn ulus23-252.3A nEstimatio nO fTheBi-e nclosi ngAnn ulus25-293 yrfabiao.net 论女第表匸家 SomeRemarksUpo nCon vexCurvesI nH ~229-353.1l ntroductio n29-303.2Pr elimi naries30-313.3AverageGeodesicCurvature31-354A nApplicatio nOf Min kowskiSupportFu nctio n35-434.1I ntroductio n35-364.2PolarTa nge ntia lCoordi natesofCo nv exCurves36-384.3ANewKi ndOfCo nsta ntWidthCurve S38-435On APerimeter-preserv in gPla neCurveFlow43-555.1l ntroductio n4 3-455.2Prelimi naries45-485.3TheFi nalShapeoftheEvolvi ngCurves48-505 .4TheLo ng-termExiste nceforC on vexCurves5O-535.5ProofOfTheMai nthe orem53-556A nApplicatio nO fCurveS