函数周期性分类解析及习题练习.doc

函数周期性分类解析 一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(xT)f(x)恒建立 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、fx f x a，则y f x是以T a为周期的周期函数； 2、若函数y=f(x) 知足f(x+a)=-f(x) (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 3、若函数f x a f xa ，则fx 是以T 2a为周期的周期函数 4、y=f(x)知足f(x+a)= 1 (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 f x 5、若函数y=f(x)知足f(x+a)= 1 2a是它的一个周期。 f (a0),则f(x)为周期函数且 x 6、f(x a) 1 f(x)，则f x 是以T 2a为周期的周期函数. 1 f(x) 7、f(x a) 1 f(x)，则f x是以T 4a为周期的周期函数. 1 f(x) 1 f(x) 4a是它的一个周 8、若函数y=f(x)知足f(x+a)= (x∈R，a0),则f(x)为周期函数且 1f(x) 期。 9、若函数y=f(x)的图像对于直线 x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且 2（b-a）是它的 一个周期。 10、函数y f(x) x R的图象对于两点 Aa,y0、Bb,y0 ab 都对称，则函数 f(x)是以2ba为周期的周期函数； 11、函数yf(x)xR的图象对于Aa,y0和直线xbab都对称，则函数f(x) 是以4ba为周期的周期函数； 12、若偶函数y=f(x)的图像对于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 13、若奇函数y=f(x)的图像对于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。 14、若函数y=f(x)知足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。 15、若奇函数 T y=f(x)知足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f()=0. 2 三、典例解说 例1（05.福建12）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 f(2) 0在区间（0，6） 内解的个数的最小值是 （ ） A．6 B．7 C．4 D．5 例2.设函数 f(x)的定义域为R，且对随意的 x，y有f(xy) f(xy) 2f(x) f(y)， c 并存在正实数c，使f()0。试问f(x)是否为周期函数？假如，求出它的一个周期；若 不是，请说明原因。 例3.已知f(x)是定义在R上的函数，且知足：f(x2)[1f(x)]1f(x)， f(1)1997，求f(2001)的值。 例4.（2009江西卷文）已知函数 f(x)是(, )上的偶函数，若对于 x 0，都有 f(x 2）f(x)，且当x[0,2) 时， f(x)log2 ，则f(2008) f(2009)的值 (x1） 为 （ ） A．2 B．1 C．1 D．2 例5. （天津卷 05）设f(x)是定义在R上的奇函数，且 y=f(x)的图象对于直线 x 1对称， 2 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_____ 例6（07安徽）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期. 若将方程f(x)0在闭区间 T,T 上的根的个数记为 n，则n可能为 （ ） A.0 B.1 C.3 D.5 四、牢固练习 1.已知偶函数 f(x)是以2为周期的周期函数，且当 x 0,1 时，f(x) 2x 1，则 f(log210)的值为 A. 3 B.8 C. 3 D.5 5 5 8 3 2设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于随意的 x R，都有f(x 1) 1 f(x)， 1 f(x) 当0 x≤1时，f(x) 2x，则f(11.5) 3知f(x) 是定义在实数集R上的函数，知足f(x2) f(x)，且x [0,2]时， f(x) 2x 2 [ 2,0]时，f(x)的表达式； 2 证明f(x)是R上的奇函数． x.1求x 4.（05旭日模拟）已知函数 f(x)的图象对于点 3,0 对称，且知足f(x) f(x 3)， 又f(1)1，f(0) 2，求f(1)f(2)f(3) 4 f(2006)的值 2 高三数学恒建立问题的种类及求解策略 恒建立问题，波及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形联合、函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，也为历年高考的一个热点。现将高中数学中常有的恒建立问题进行归类和探讨。 一、一次函数型： 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 a0a0f(m)0 ⅰ）或ⅱ）亦可归并定成 f(m)0f(n)0f(