函数幂级数展开和应用.doc

函数幂级数的展开和应用 函数幂级数的展开和应用 PAGE/NUMPAGES 函数幂级数的展开和应用 函数幂级数的展开和应用 我们称形如an(xx0)na0a1(xx0)a2(xx0)2Lan(xx0)nL的级数为幂级 n0 数，它是一类最简单的函数项级数.从某种意义上说，它也能够看作是多项式函数的延长.幂级数在 理论和实际上都有好多应用，特别在应用它表示函数方面，又由于函数幂级数的逐项求导和逐项可 积等好的运算性质，为函数的研究和应用提供了便利的条件. 函数幂级数展开的条件 函数f(x)能够在点xx0作幂级数展开，是指存在xx0，使得在（x0r,x0r）上， f(x)an(xx0)n （1） 其中f(x)是此幂级数的和函数. n0 根据幂级数的逐项可积性，若函数 f(x)能表示成幂级数an(x x0)n且其收敛半径r0， n0 n1 则函数f(x)在区间(r,r)上有随意阶导数，且 f(x) nan(xx0) ， n1 f(x0)a1，L ，f(n)(x0) n!,an f(n)(x0) n! 因此自然会提出下述问题，是否每一个在区间 (r,r)上有随意阶导数的函数 f(x)一定能在区 间上展成形如 an(xx0)n的幂级数呢？回答是不一定的 n0 例1 在( ,)上拥有随意阶导数的函数f(x)e 0  . 1 x2x 0 x ，易考证 0 1 1 1 当x 0时，f(x) 23ex2 ，f(x) 64ex2 46ex2 ， x x x 1 1 1的某个多项式.令t 1 一般来说，有 f(n)(x) Pn(1)ex2 （x 0），其中Pn( )是对于 ， x x x x2 1 1 m 1 t2 易得lim ex2 lim 0.由此可知 x0 xm t et 1 lim f(n)(x) lim f(n)(x) limPn(1)ex2 0 (n 0,1,2, )， x0 x0 x 0 x 又因为f(x)在x 0处连续，所以有f(0) 0.近似逐次可推得 f(n)(0)0(n2,3,)所以 f(x)在x 0的幂级数为0 0 0x2 L 0xn L显然它在( ,)上收敛，且其和函数 2! n! s(x) 0. 可是，f(x)只在x 0处为零值. x 0，都有 f(x) s(x). 上述例子告诉我们：拥有随意阶导数的函数，其幂级数（泰勒级数）并不是都收敛于函数本身. 那么具备什么条件的函数f(x)，它的幂级数（泰勒级数）才能收敛于f(x)本身呢？ 定理1设f(x)在点xx0拥有随意阶导数，那么f(x)在区间(x0r,x0r)内等于它的泰勒 级数的和函数的充分必要条件是：对一切知足不等式xx0r的x，都有limRn(x)0.这里 n Rn(x)是f(x)在x0的泰勒公式余项. 应用定理1鉴别一个函数是否能够展成泰勒级数经常是不方便的，我们有如下充分条件： 定理2 设f(x)在(x0 r,x0 r)内有随意阶导数 ,若存在M 0，使得 x(x0r,x0r)， 及 n0,1,2, ， 有 f(n)(x) Mn (2) 则 f(x) f(n)(x0)(x x0)n (3) n0 n! 证明 由条件(2) 得， x(x0 r,x0 r) f(n)( ) x0) n Mnrn 0 (n ) 即得所证. 有 (x n! n! 若f(x)在x0这一邻域内能够展开成泰勒级数，即 f(x)f(x0)f(x0)(xx0) f(x0)(xx0)2 f(n)(x0)(xx0)n （4）则（4） 2! n! 的右边为f(x)在xx0处的泰勒展开式，或称幂级数展开式. 在实际应用中，主要议论函数在 x00处的展开式，这时（ 4）式能够写作 2 f(x)f(0)f(0)x f(0)x2 f(n)(0)xn ，称为麦克劳林级数，简称幂级数. 2! n! 函数幂级数的展开 一般说来，能够将一个函数展成幂级数的方法分为直接展开法和间接展开法，下面就这两种方 法做一一介绍. 2.1 直接展开法 这种方法也能够称其为余项估算法 .设f(x)在xx0处随意次可导，记 Rn(x) f(x) nf(k)(x0)(xx0)k (k N)，若f(x) f(n)(x0)(xx0)n，只需 k 0 k! n0 n! xU(x0)，有limRn(x) 0. n 当x0 0时，Rn(x)的各样表达式： Rn(x) (xn) （佩亚诺型余项）； Rn(x) f(n 1)( )xn 1， 在0与x之间（拉格朗日型余项）； (n 1)! Rn(x) 1 x t)n f(n1)(t)dt（积分型余项）； (x n! 0 Rn(x) f(n 1)( x)(1 )nxn1，0 1（柯西型余项）； n! 佩亚诺型余项只是定性的描绘了余项的性态不利于详细估算误差，所以我们常用其余三种余项形式. [1](P54