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小船渡河问题 小船渡河问题 例1 一条宽度为L 的 河， 水 流 速 度 为 为 v 已水， 知 船在静水中的航速 v 那船， 么 (1)怎样渡河时间最短, (2)若 vv 怎样渡河位移最小, 水,船， (3)若 vv，怎样渡河船漂下的距离最短, 水,船 【分析与解答】: (1)如图 1—1 所示，设船的航向与河岸成任意角 斜向上，这时船速在 y 轴 方向上的分速度为 v=vsinθ,渡河所需的时间为 L/vsinθ y 船船 0 可以看出:在 L、v 一定时，t 随 sin 增大而减小;当 θ=90时，sinθ=1,最 大，即船头与河船 岸垂直时，渡河时间最短，且 t=L/v min 船 (2)如图 1—2 所示，渡河的最小位移即河的宽度 L,要使渡河位移等于 L,必须 使船的合速度 v 的方向与河岸垂直。此时船沿河岸方向的速度分量 v=0，这时船头 应指向河的上游，并与河岸成 x 一定的角度 θ， 即 v-vcosθ=0，θ=arccosv/v 水船水船 因为 0?θ?1，所以只有在 vv 时，船才有可能垂直河岸横渡。 水,船 (3)则不论船的航向如何，总要被水冲向下游，怎样才能使船的航程最短呢,如 图 1—3 所示，设船头 (v)与河岸成 角，合速度(v)与河岸成 α角，可以看出:α 角越大，船到下游的距离船 x 越短。那么，在什么条件下，α 角最大呢,请看 课件 (请安装几何画板) 可 见，以 v 的矢尖为圆心，为半 径画圆，当与圆相切时如图 1—4，角最大。 此时 sinα=v 水船/v， 水 船的最短航程为 s=d/sinα=dv/v 船水 渡河问题参考课件 (flash) 可见，正交分解是 解决渡船问题的一 种比较好的方法 绳子拉船问题 一个速度岸矢量运算法则分解为两个分速度，可以有无数组解，但若与实际情 况不服，则所得分速度就毫无物理意义。所以速度分解的一个基本原则就是按实际 效果来进行分解。常用的思想方法有两种: 一种思想是现虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找 到运动分解 的办法; 另一种思想方法实现确定合运动的速度方向(这里有一个简单的原则:物体的实 际运动方 向就是合速度的方向)，然后分析有这个合速度所产生的实际效果，以确定两 个分速度的方向。 例 2:如图 2-1 所示，用绳牵引小船靠岸，若收绳的速度为 v，在绳子与水平方 向夹角为 α1 的时刻，船的速度v 有多大, 【分析与解答】:方法一:虚拟小船在 Δt时间内从 A 移过 Δs到达 C 如图 2—2 所示，这个运动可设想为两个分运动所合成:先被绳拉过 Δs到 B，再随绳绕滑轮 O 点做圆周运动到 C 点，1 位移为 Δs 2 因为 OB=OC，?OBC=β=(180- Δθ)/2 0 若 Δt很小很小，Δθ?0，则 β?90，即 Δs与 Δs垂直，此时有 Δs=Δscosα,也 就是 211 Δs/Δt=(Δs/Δt)cosα，则v=vcosα，v=v/cosα。 111 方法二:船的速度 v 的方向就是合运动的速度方向。由于这个v 产生两个效果: 一是使绳系着小船的一端沿绳拉方向以速率 v 运动;二是师生的这段绕滑轮做顺时 针方向的圆周运动，1 那么合速度 v 应沿着绳子的牵引方向和垂直于绳子的方向分解如图 2—3 所 示，从图中可知:v=v/cosα. 1