费马点与中考试题三.docxVIP

  1. 1、本文档共7页,可阅读全部内容。
  2. 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
  3. 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  4. 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
  5. 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
  6. 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们
  7. 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
  8. 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
练习题库 | 千锤百练 PAGE PAGE 6 word版本 | 实用可编辑 “费马点〞与中考试题 费马,法国业余数学家,拥有业余数学之王的称号,他是解析几何的创造者之一. 费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点. 费尔马的结论:对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点,对于有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点. 下面简单说明如何找点P使它到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?这就是所谓的费马问题. 图1 解析:如图1,把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′,连接PP′. 那么△APP′为等边三角形,AP= PP′,P′C′=PC, 所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′. 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点,BC′为定长 ,所以当B、P、P′、C′ 四点在同一直线上时,PA+PB+PC最小. 这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°, ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°, ∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120° 因此,当的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是120°,可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧,两弧在三角形内的交点就是P点;当有一内角大于或等于120°时,所求的P点就是钝角的顶点. 费尔马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转变换. 本文列举近年“费马点〞走进中考试卷的实例,供同学们学习参考. 例1 〔2008年广东中考题〕正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为,求此正方形的边长. 图2 图3 分析:连接AC,发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到三个顶点的距离之和,这实际是费尔马问题的变形,只是背景不同. 解 如图2,连接AC,把△AEC绕点C顺时针旋转60°,得到△GFC,连接EF、BG、AG,可知△EFC、△AGC都是等边三角形,那么EF=CE. 又FG=AE, ∴AE+BE+CE = BE+EF+FG〔图4〕. ∵ 点B、点G为定点〔G为点A绕C点顺时针旋转60°所得〕. ∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值,此时E、F两点都在BG上〔图3〕. 设正方形的边长为,那么 BO=CO=,GC=, GO=. ∴ BG=BO+GO =+. ∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为. ∴ +=,解得=2. 注 此题旋转△AEB、△BEC也都可以,但都必须绕着定点旋转,读者不妨一试. 例2 〔2009年北京中考题〕 如图4,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为,,,延长AC到点D, 使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E. 〔1〕求D点的坐标; 〔2〕作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,假设过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式; 〔3〕设G为y轴上一点,点P从直线与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,假设P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短. 分析和解:〔1〕D点的坐标〔3,〕〔过程略〕. 〔2〕 直线BM的解析式为〔过程略〕. 图4 〔3〕如何确定点G的位置是此题的难点也是关健所在.设Q点为y轴上一点,P在y轴上运动的速度为v,那么P沿M→Q→A运动的时间为,使P点到达A点所用的时间最短,就是MQ+AQ最小,或MQ+2AQ最小. 解法1 ∵ BQ=AQ, ∴MQ+2AQ最小就是MQ+AQ+BQ最小,就是在直线MO上找点G使他到A、B、M三点的距离和最小.至此,再次发现这又是一个费尔马问题的变形,注意到题目中等边三角形的信息,考虑作旋转变换. 把△MQB绕点B顺时针旋转60°,得到△M′Q′B,连接QQ′、MM′〔图5〕,可知△QQ′B、△MM′B都是等边三角形,那么QQ′=BQ. 又M′Q′=MQ, ∴MQ+AQ+BQ= M′Q′+ QQ′+AQ. ∵点A、M′为定点,所以当Q、Q′两点在线段A M′上时,MQ+AQ+BQ最小.由条件可证明

文档评论(0)

肖四妹学教育 + 关注
实名认证
文档贡献者

该用户很懒,什么也没介绍

1亿VIP精品文档

相关文档