费马点与中考试题三.docxVIP

练习题库 | 千锤百练 PAGE PAGE 6 word版本 | 实用可编辑 “费马点〞与中考试题 费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的创造者之一．　费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点． 费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． 下面简单说明如何找点P使它到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费马问题． 图1 解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′． 那么△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC， 所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长 ，所以当B、P、P′、C′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小． 这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120° 因此，当的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 本文列举近年“费马点〞走进中考试卷的实例，供同学们学习参考． 例1 〔2008年广东中考题〕正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长． 图2 图3 分析：连接AC，发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同． 解 如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，那么EF=CE． 又FG=AE， ∴AE+BE+CE = BE+EF+FG〔图4〕． ∵ 点B、点G为定点〔G为点A绕C点顺时针旋转60°所得〕． ∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上〔图3〕． 设正方形的边长为，那么 BO=CO=，GC=, GO=． ∴ BG=BO+GO =+． ∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为． ∴ +=，解得=2． 注 此题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试． 例2 〔2009年北京中考题〕 如图4，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为，，，延长AC到点D, 使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E. 〔1〕求D点的坐标； 〔2〕作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，假设过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； 〔3〕设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，假设P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短． 分析和解：〔1〕D点的坐标〔3，〕〔过程略〕． 〔2〕 直线BM的解析式为〔过程略〕． 图4 〔3〕如何确定点G的位置是此题的难点也是关健所在．设Q点为y轴上一点，P在y轴上运动的速度为v，那么P沿M→Q→A运动的时间为，使P点到达A点所用的时间最短，就是MQ＋AQ最小，或MQ＋2AQ最小． 解法1 ∵ BQ=AQ， ∴MQ＋2AQ最小就是MQ＋AQ＋BQ最小，就是在直线MO上找点G使他到A、B、M三点的距离和最小．至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换． 把△MQB绕点B顺时针旋转60°，得到△M′Q′B，连接QQ′、MM′〔图5〕，可知△QQ′B、△MM′B都是等边三角形，那么QQ′=BQ． 又M′Q′=MQ， ∴MQ＋AQ＋BQ= M′Q′+ QQ′+AQ． ∵点A、M′为定点，所以当Q、Q′两点在线段A M′上时，MQ＋AQ＋BQ最小．由条件可证明