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练习题库 | 千锤百练
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分式的运算
〔一〕、分式定义及有关题型
题型一：考察分式的定义
【例1】以下代数式中：，是分式的有： .
题型二：考察分式有意义的条件
【例2】当有何值时，以下分式有意义
〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕 〔5〕
题型三：考察分式的值为0的条件
【例3】当取何值时，以下分式的值为0.
〔1〕 〔2〕 〔3〕
题型四：考察分式的值为正、负的条件
【例4】〔1〕当为何值时，分式为正；
〔2〕当为何值时，分式为负；
〔3〕当为何值时，分式为非负数.
练习：
1．当取何值时，以下分式有意义：
〔1〕 〔2〕 〔3〕
2．当为何值时，以下分式的值为零：
〔1〕 〔2〕
3．解以下不等式
〔1〕 〔2〕
〔二〕分式的根本性质及有关题型
1．分式的根本性质：
2．分式的变号法那么：
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
〔1〕 〔2〕
题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把以下分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
〔1〕 〔2〕 〔3〕
题型三：化简求值题
【例3】：，求的值.
提示：整体代入，①，②转化出.
【例4】：，求的值.
【例5】假设，求的值.
练习：
1．不改变分式的值，把以下分式的分子、分母的系数化为整数.
〔1〕 〔2〕
2．：，求的值.
3．：，求的值.
4．假设，求的值.
5．如果，试化简.
〔三〕分式的运算
1．确定最简公分母的方法：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
②取分子、分母一样的字母因式的最低次幂.
题型一：通分
【例1】将以下各式分别通分.
〔1〕； 〔2〕；
〔3〕； 〔4〕
题型二：约分
【例2】约分：
〔1〕；〔3〕；〔3〕.
题型三：分式的混合运算
【例3】计算：
〔1〕； 〔2〕；
〔3〕； 〔4〕；
〔5〕；
〔6〕；
〔7〕
题型四：化简求值题
【例4】先化简后求值
〔1〕：，求分子的值；
〔2〕：，求的值；
〔3〕：，试求的值.
题型五：求待定字母的值
【例5】假设，试求的值.
练习：
1．计算
〔1〕； 〔2〕；
〔3〕； 〔4〕；
〔5〕； 〔6〕；
〔7〕.
2．先化简后求值
〔1〕，其中满足.
〔2〕，求的值.
3．：，试求、的值.
4．当为何整数时，代数式的值是整数，并求出这个整数值.
〔四〕、整数指数幂与科学记数法
题型一：运用整数指数幂计算
【例1】计算：〔1〕 〔2〕
〔3〕 〔4〕
题型二：化简求值题
【例2】，求〔1〕的值；〔2〕求的值.
题型三：科学记数法的计算
【例3】计算：〔1〕；〔2〕.
练习：
1．计算：〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
2．，求〔1〕，〔2〕的值.
第二讲 分式方程
〔一〕分式方程题型分析
题型一：用常规方法解分式方程
【例1】解以下分式方程
〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕
提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去一样因式至使漏根；④忘记验根.
题型二：特殊方法解分式方程
【例2】解以下方程
〔1〕； 〔2〕
提示：〔1〕换元法，设；〔2〕裂项法，.
【例3】解以下方程组
题型三：求待定字母的值
【例4】假设关于的分式方程有增根，求的值.
【例5】假设分式方程的解是正数，求的取值范围.
提示：且，且.
题型四：解含有字母系数的方程
【例6】解关于的方程
提示：〔1〕是数；〔2〕.
题型五：列分式方程解应用题
练习：
1．解以下方程：
〔1〕； 〔2〕；
〔3〕； 〔4〕
〔5〕 〔6〕
〔7〕
2．解关于的方程：
〔1〕；〔2〕.
3．如果解关于的方程会产生增根，求的值.
4．当为何值时，关于的方程的解为非负数.
5．关于的分式方程无解，试求的值.
〔二〕分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：
一、穿插相乘法
例1．解方程：
二、化归法
例2．解方程：
三、左边通分法
例3：解方程：
四、分子对等法
例4．解方程：
五、观察比较法
例5．解方程：
六、别离常数法
例6．解方程：
七、分组通分法
例7．解方程：
〔三〕分式方程求待定字母值的方法
例1．假设分式方程无解，求的值。
例2．假设关于的方程不会产生增根，求的值。
例3．假设关于分式方程有增根，求的值。
例4．假设关于的方程有增根，求的值。
分式
题型一：
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