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练习题库 | 千锤百练
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分式的运算
〔一〕、分式定义及有关题型
题型一:考察分式的定义
【例1】以下代数式中:,是分式的有: .
题型二:考察分式有意义的条件
【例2】当有何值时,以下分式有意义
〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕 〔5〕
题型三:考察分式的值为0的条件
【例3】当取何值时,以下分式的值为0.
〔1〕 〔2〕 〔3〕
题型四:考察分式的值为正、负的条件
【例4】〔1〕当为何值时,分式为正;
〔2〕当为何值时,分式为负;
〔3〕当为何值时,分式为非负数.
练习:
1.当取何值时,以下分式有意义:
〔1〕 〔2〕 〔3〕
2.当为何值时,以下分式的值为零:
〔1〕 〔2〕
3.解以下不等式
〔1〕 〔2〕
〔二〕分式的根本性质及有关题型
1.分式的根本性质:
2.分式的变号法那么:
题型一:化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.
〔1〕 〔2〕
题型二:分数的系数变号
【例2】不改变分式的值,把以下分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
〔1〕 〔2〕 〔3〕
题型三:化简求值题
【例3】:,求的值.
提示:整体代入,①,②转化出.
【例4】:,求的值.
【例5】假设,求的值.
练习:
1.不改变分式的值,把以下分式的分子、分母的系数化为整数.
〔1〕 〔2〕
2.:,求的值.
3.:,求的值.
4.假设,求的值.
5.如果,试化简.
〔三〕分式的运算
1.确定最简公分母的方法:
①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;
②取分子、分母一样的字母因式的最低次幂.
题型一:通分
【例1】将以下各式分别通分.
〔1〕; 〔2〕;
〔3〕; 〔4〕
题型二:约分
【例2】约分:
〔1〕;〔3〕;〔3〕.
题型三:分式的混合运算
【例3】计算:
〔1〕; 〔2〕;
〔3〕; 〔4〕;
〔5〕;
〔6〕;
〔7〕
题型四:化简求值题
【例4】先化简后求值
〔1〕:,求分子的值;
〔2〕:,求的值;
〔3〕:,试求的值.
题型五:求待定字母的值
【例5】假设,试求的值.
练习:
1.计算
〔1〕; 〔2〕;
〔3〕; 〔4〕;
〔5〕; 〔6〕;
〔7〕.
2.先化简后求值
〔1〕,其中满足.
〔2〕,求的值.
3.:,试求、的值.
4.当为何整数时,代数式的值是整数,并求出这个整数值.
〔四〕、整数指数幂与科学记数法
题型一:运用整数指数幂计算
【例1】计算:〔1〕 〔2〕
〔3〕 〔4〕
题型二:化简求值题
【例2】,求〔1〕的值;〔2〕求的值.
题型三:科学记数法的计算
【例3】计算:〔1〕;〔2〕.
练习:
1.计算:〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
2.,求〔1〕,〔2〕的值.
第二讲 分式方程
〔一〕分式方程题型分析
题型一:用常规方法解分式方程
【例1】解以下分式方程
〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕
提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去一样因式至使漏根;④忘记验根.
题型二:特殊方法解分式方程
【例2】解以下方程
〔1〕; 〔2〕
提示:〔1〕换元法,设;〔2〕裂项法,.
【例3】解以下方程组
题型三:求待定字母的值
【例4】假设关于的分式方程有增根,求的值.
【例5】假设分式方程的解是正数,求的取值范围.
提示:且,且.
题型四:解含有字母系数的方程
【例6】解关于的方程
提示:〔1〕是数;〔2〕.
题型五:列分式方程解应用题
练习:
1.解以下方程:
〔1〕; 〔2〕;
〔3〕; 〔4〕
〔5〕 〔6〕
〔7〕
2.解关于的方程:
〔1〕;〔2〕.
3.如果解关于的方程会产生增根,求的值.
4.当为何值时,关于的方程的解为非负数.
5.关于的分式方程无解,试求的值.
〔二〕分式方程的特殊解法
解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:
一、穿插相乘法
例1.解方程:
二、化归法
例2.解方程:
三、左边通分法
例3:解方程:
四、分子对等法
例4.解方程:
五、观察比较法
例5.解方程:
六、别离常数法
例6.解方程:
七、分组通分法
例7.解方程:
〔三〕分式方程求待定字母值的方法
例1.假设分式方程无解,求的值。
例2.假设关于的方程不会产生增根,求的值。
例3.假设关于分式方程有增根,求的值。
例4.假设关于的方程有增根,求的值。
分式
题型一:
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