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反比例函数 (基础篇) 1 、反比例函数的概念 一般地，函数y k (k 是常数， k 0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以 x 写成 y kx 1 的形式。自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数，函数的取值范围也是一切 非零实数。 (注意：反比例函数y k 中， x 的次数只能为 1，k 为不等于 0 的实数) x 2 、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或 第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x 0，函数 y 0，所以，它 的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标 轴。 3 、反比例函数的性质 反 反比例函数 k 的符号 y O 图像 x ①x 的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0； ②当 k0 时，函数图像的两个分 支分别在第一、三象限。在每个 象限内， y 随 x 的增大而减小。 ①x 的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0； ②当 k0 时，函数图像的两个分支分 别在第二、四象限。在每个象限内， y 随 x 的增大而增大。 y O 性质 k0 k0 x 4、反比例函数解析式的确定 k 确定及诶是的方法是待定系数法。由于在反比例函数 y 中，只有一个待定系数， x 因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 过反比例函数 y kx(k 0) 图像上任一点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM，PN，则所得的 k矩形 PMON 的面积 S=PM ? PN= y ? x xy 。 y , xy k , S k 。 x k 补充： 正比例函数和一次函数 1 、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 y kx b (k ，b 是常数， k 0)，那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数 y kx b 中的 b 为 0 时， y kx (k 为常数， k 0)。这时， y 叫做 x 的正比例函数。 2 、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3 、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数 y kx b 的图像是经过点(0 ，b)的直线；正比例函数y kx 的图像是经 过原点(0 ，0)的直线。 k k 的符号 k0 b 的符号 b0 函数图像 y 0 图像特征 图像经过一、二、三象限， y 随 x 的增大而增大。 b0 b0 K0 y 0 y 0 图像经过一、三、四象限， y 随 x 的增大而增大。 x x 图像经过一、 二、 四象限， y 随x 的增大而减小 y b0 0 x 图像经过二、 三、四象限， y 随x 的增大而减小。 0 注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 解析式：设解析式为 y kx b 利用待定系数法求解。 例 1 当 m 为何值时，函数y = (m2 ? m)xm 2 +m?3是反比例函数，并写出解析式。 练习 1 函数y = k+2 是反比例函数，求解析式。 xk2 +k?1 x 练习 2 若反比例函数y = (2m ? 1)xm 2 ?2的图象在第二、四象限，则求 m 的值。 m 例 2 一次函数 y 2x 1 的图像与反比例函数y 的图像相交于点(k,5)， x (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式 (2)写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围。 练习 1 已知反比例函数y = k (k≠0)图象经过点 A (2,3)另一点 B ( m ，m+1)也在此图上， x 求 m 练习 2 已知反比例函数y = k 的图象和一次函数y = ax + b的图象相交于(2，m) 和(-1，-4) x 两点； ⑴写出这两个函数的解析式；⑵写出使反比例函数的值小于一次函数的值的x 范围 例 例 3、如图， Rt ABO 的顶点 A 是双曲线 y 与直线 y x (k 1) 在第二象限的交点， △ x AB AB⊥x 轴于 B 且 S = 3 ；(1)求这两个函数的解析式 y △ABO 2 A (2)求直线与双曲线的两个交点 A，C 的坐标和△AOC 的面积。 x 练习 1 如图矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是BC边上一动点，过D点作DE