专题03 勾股定理中的翻折和旋转问题（解析版）.docx

专题三 勾股定理中的翻折和旋转问题 考点一 翻折问题 【方法点拨】根据翻折前后两图形全等，借助勾股定理构造方程求线段的长。 1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【思路点拨】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在RT△DEB中利用勾股定理解决． 【解析】解：在RT△ABC中，∵AC＝6，BC＝8， ∴AB=AC △ADE是由△ACD翻折， ∴AC＝AE＝6，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4， 设CD＝DE＝x， 在RT△DEB中，∵DE2+EB2＝DB2， ∴x2+42＝（8﹣x）2 ∴x＝3， ∴CD＝3． 故选：B． 【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题． 2．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD的长BC与宽AB的关系是（　　） A．BC＝2AB B．BC=3AB C．BC＝1.5AB D．BC= 【思路点拨】连接DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD＝45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，由折叠性质得出Rt△DGE≌Rt△DCE，得到DC＝DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=2DG=2CD，因此BC= 【解析】解：连接DE，如图， ∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处， ∴四边形ABEF为正方形， ∴∠EAD＝45°，同法可证：∠ADG＝45°， ∴∠AGD＝90°， 由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上， ∴DE平分∠GDC，Rt△DGE≌Rt△DCE， ∴DC＝DG， 又∵△AGD为等腰直角三角形， ∴AD=2DG=2 ∴BC=2AB 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质；熟记翻折变换和正方形的性质是解决问题的关键． 3．长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上的点F处，则AE的长为　35　． 【思路点拨】利用矩形的性质得到BC＝AD＝8，∠ABC＝90°，再根据勾股定理计算出AC＝10，接着利用折叠的性质得∠AFE＝∠ABE＝90°，AF＝AB＝6，BE＝FE，所以CF＝4，设BE＝x，则EF＝x，CE＝8﹣x，利用勾股定理得到x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，然后在Rt△ABE中利用勾股定理计算AE的长． 【解析】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝8，∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AC=AB ∵△ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上的点F处， ∴∠AFE＝∠ABE＝90°，AF＝AB＝6，BE＝FE， ∴CF＝10﹣6＝4， 设BE＝x，则EF＝x，CE＝8﹣x， 在Rt△CEF中，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3， 在Rt△ABE中，AE=32+ 故答案为35． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质． 4．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是　52　 【思路点拨】由矩形的性质可得AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC＝∠ACE＝∠ACB，即AE＝EC，根据勾股定理可求AE的长． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB， ∵折叠， ∴∠ACE＝∠ACB， ∴∠EAC＝∠ACE， ∴AE＝CE， 在Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2， AE2＝（4﹣AE）2+4， ∴AE= 故答案为：5 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的判定的运用，解答时灵活运用折叠的性质求解是关键． 5．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为　3　． 【思路点拨】求出AC的长度；证明EF＝EB（设为λ），得到CE＝8﹣λ；列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题． 【