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2019-2020学年八年级下学期期末考试高分直通车(北师大版)
专题1.1三角形的证明(精讲精练)
【目标导航】
【知识梳理】
1.等腰三角形
(1)等腰三角形的概念:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性质: ①等腰三角形的两腰相等; ②等腰三角形的两个底角相等.【简称:等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】2.等腰三角形的判定
判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.【简称:等角对等边】说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;3.等边三角形的性质
(1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形.
(2)等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.
4.等边三角形的判定
(1)由定义判定:三条边都相等的三角形是等边三角形.(2)判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
5.直角三角形的判定:
(1)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).(2)直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都适合它,同时,直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.
6.直角三角形的性质:
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理).性质2:在直角三角形中,两个锐角互余.性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半. 性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.
性质5:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.
7.线段的垂直平分线:
(1)定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线,简称“中垂线”.
(2)性质:①垂直平分线垂直且平分其所在线段.
②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
8. 角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意:①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等;③使用该结论的前提条件是图中有角平分线,有垂直
【典例剖析】
考点1 等腰三角形的性质
【例1】(2019秋?崇川区期末)如图,在△ABC中,∠ACB=110°,∠B>∠A,D,E为边AB上的两个点,且BD=BC,AE=AC.
(1)若∠A=30°,求∠DCE的度数;
(2)∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗?请说明理由.
【分析】(1)设∠DCE=x,∠ACD=y,则∠ACE=x+y,∠BCE=110°﹣∠ACE=110°﹣x﹣y,根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y,∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=110°﹣y.然后在△DCE中,利用三角形内角和定理列出方程x+(110°﹣y)+(x+y)=180°,解方程即可求出∠DCE的大小;
(2)根据(1)的结论即可得到结果.
【解析】(1)设∠DCE=x,∠ACD=y,则∠ACE=x+y,∠BCE=110°﹣∠ACE=110°﹣x﹣y.
∵AE=AC,
∴∠ACE=∠AEC=x+y,
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=110°﹣x﹣y+x=110°﹣y.
在△DCE中,∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°,
∴x+(110°﹣y)+(x+y)=180°,
解得x=35°,
∴∠DCE=35°;
(2)由(1)知,∠DCE的度数不会随着∠A度数的变化而变化.
点睛:本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,设出适当的未知数列出方程是解题的关键.
【变式1.1】(2019秋?岱岳区期末)在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E是AD上任意一点.
(1)如图1,连接BE、CE,则BE=CE吗?说明理由;
(2)若∠BAC=45°,BE的延长线与AC垂直相交于点F时,如图2,BD=12
【分析】(1)成立,根据等腰三角
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