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七年级数学下册解法技巧思维培优
专题08 变量之间的关系
题型一 借助图象描述变化过程
【典例1】(2019?锦州期末)实践证明1分钟跳绳测验的最佳状态是前20秒速度匀速增加,后10秒冲刺,中间速度保持不变,则跳绳速度v(个/秒)与时间t(秒)之间的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
【点睛】根据前20秒匀加速进行,20秒至50秒保持跳绳速度不变,后10秒继续匀加速进行,得出速度y随时间x的增加的变化情况,即可求出答案.
【详解】解:随着时间的变化,前20秒匀加速进行,
所以此时跳绳速度y随时间x的增加而增加,
再根据20秒至50秒保持跳绳速度不变,
所以此时跳绳速度y随时间x的增加而不变,
再根据后10秒继续匀加速进行,
所以此时跳绳速度y随时间x的增加而增加,
故选:C.
【典例2】(2020?阳谷校级模拟)小刘下午5点30分放学匀速步行回家,途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花,6点20分到家,已知小刘家距学校3千米,下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S(千米)与离校的时间t(分钟)之的关系的是( )
A. B.
C. D.
【点睛】根据小刘家距学校3千米,小刘离学校的距离随着时间的增大而增大确定合适的函数图象即可.
【详解】解:∵小刘家距学校3千米,
∴离校的距离随着时间的增大而增大,
∵路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花,
∴中间有一段离家的距离不再增大,离校50分钟后离校的距离最大,即3千米.
综合以上A符合,
故选:C.
【典例3】(2019?莲湖区期末)匀速地向一个容器内注水,在注满水的过程中,水面的高度h与时间t之间的函数关系如图所示,则该容器可能是( )
A. B.
C. D.
【点睛】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断,由图象及容积可求解.
【详解】解:相比较而言,前一个阶段,用时较少,高度增加较快,那么下面的物体应较细.由图可得上面立方体的体积应大于下面立方体的体积.
故选:D.
【典例4】(2019?西城区期末)如图,AB=5,O是AB的中点,P是以点O为圆心,AB为直径的半圆上的一个动点(点P与点A,B可以重合),连接PA,过P作PM⊥AB于点M.设AP=x,AP﹣AM=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【点睛】连接BP,根据圆周角定理得到∠APB=90°,证明△AMP∽△APB,根据相似三角形的性质得到AM=15x2,得到y=x-1
【详解】解:连接BP,
∵AB为圆的直径,
∴∠APB=90°,
∵PM⊥AB,
∴∠AMP=90°,
∴∠APB=∠AMP,又∠A=∠A,
∴△AMP∽△APB,
∴AMAP=AP
解得,AM=15x
∴y=x-15x2(0≤x≤
故选:A.
【典例5】(2020?新抚区二模)如图,边长为2的正方形ABCD,点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A﹣D﹣C的路径向点C运动,同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B﹣C﹣D﹣A的路径向点A运动,当Q到达终点时,P停止移动,设△PQC的面积为S,运动时间为t秒,则能大致反映S与t的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
【点睛】分三种情况求出解析式,即可求解.
【详解】解:当0≤t≤1时,S=12×2×(2﹣2t)=2﹣
∴该图象y随x的增大而减小,
当1<t≤2时,S=12(2﹣t)(2t﹣2)=﹣t2+3t﹣
∴该图象开口向下,
当2<t≤3,S=12(4﹣t)(2t﹣4)=﹣t2+6t﹣
∴该图象开口向下,
故选:C.
【典例6】(2020?颍州区一模)如图,四边形ABCD是正方形,AB=8,AC、BD交于点O,点P、Q分别是AB、BD上的动点,点P的运动路径是AB→BC,点Q的运动路径是BD,两点的运动速度相同并且同时结束.若点P的行程为x,△PBQ的面积为y,则y关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
【点睛】分两种情况,求出y关于x的函数关系式,即可求解.
【详解】解:当0<x≤8时,则y=1
∴此段抛物线的开口向下;
当8<x≤82
∴此段抛物线的开口向上,
故选:A.
【典例7】(2019?东海期末)如图,“漏壶”是一种这个古代计时器,在它内部盛一定量的水,不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间,用t表示漏水时间,h表示壶底到水面的高度,下列图象适合表示h与t的对应关系的是( )
A. B.
C. D.
【点睛】根据题意,可知y随的增大而减小,符合一次函数图象,从而可以解答本题.
【详解】解:∵不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,x表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度,
∴y随x的增大而减小,符
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